# AOV: Activity On Vertex

略（不考）

# AOE: Activity On Edge

与 AOV 网相对应的是 AOE (Activity On Edge) ，是边表示活动的有向无环图，如图所示。图中顶点表示事件 (Event)，每个事件表示在其前的所有活动已经完成，其后的活动可以开始；弧表示活动，弧上的权值表示相应活动所需的时间或费用

与 AOE 有关的研究问题

完成整个工程至少需要多少时间？
哪些活动是影响工程进度 (费用) 的关键？

工程完成最短时间：从起点到终点的最长路径长度 (路径上各活动持续时间之和)

长度最长的路径称为关键路径，关键路径上的活动称为关键活动。关键活动是影响整个工程的关键。

# 求 AOE 中关键路径和关键活动

设 $v_0$ 是起点，从 $v_0$ 到 $v_i$ 的最长路径长度称为事件 $v_i$ 的最早发生时间，即是以 $v_i$ 为尾的所有活动的最早发生时间。

若活动 $a_i$ 是弧 $<j,k>$ ，持续时间是 $dut(<j,k>)$ , 设：

$e(i)$ : 表示活动 $a_i$ 的最早开始时间；

$l(i)$ : 在不影响进度的前提下，表示活动 $a_i$ 的最晚开始时间；

$l(i)-e(i)$ 表示活动 $a_i$ 的时间余量，若 $l(i)-e(i)=0$ ，表示活动 $a_i$ 是关键活动

$v_e(i)$ : 表示事件 $v_i$ 的最早发生时间，即从起点到顶点 $v_i$ 的最长路径长度

$v_l(i)$ : 表示事件 $v_i$ 的最晚发生时间

则有以下关系:

$\begin{aligned} e(i) &= v_e(j)\\ l(i) &= v_l(k)-dut(<j,k>) \end{aligned}$

并且：

$\begin{aligned} v_e(j) = \left\{ \begin{aligned} &0\\ &Max\{ve(i)+dut(<i, j>)|<v_i, v_j>是网中的弧\} \end{aligned} \begin{aligned} j=0,表示vj是起点\\ j\neq 0 \end{aligned} \right. \end{aligned}$

含义是：源点事件的最早发生时间设为 0; 除源点外，只有进入顶点 $v_j$ 的所有弧所代表的活动全部结束后，事件 $v_j$ 才能发生。即只有 $v_j$ 的所有前驱事件 $v_i$ 的最早发生时间 $v_e(i)$ 计算出来后，才能计算 $v_e(j)$ 。

方法是：对所有事件进行拓扑排序，然后依次按拓扑顺序计算每个事件的最早发生时间。

$\begin{aligned} v_l(j) = \left\{ \begin{aligned} &v_e(n-1) \\ &Min\{v_l(k)-dut(<j, k>)|<v_j, v_k>是网中的弧\} \end{aligned} \begin{aligned} j=n-1，表示v_j是终点\\ j\neq n-1 \end{aligned} \right. \end{aligned}$

含义是：只有 $v_j$ 的所有后继事件 $v_k$ 的最晚发生时间 $v_l(k)$ 计算出来后，才能计算 $v_l(j)$ 。

方法是：按拓扑排序的逆顺序，依次计算每个事件的最晚发生时间。

# 算法思想

利用拓扑排序求出 AOE 网的一个拓扑序列；
从拓扑排序的序列的第一个顶点 (源点) 开始，按拓扑顺序依次计算每个事件的最早发生时间 $v_e(i)$ ;
从拓扑排序的序列的最后一个顶点 (汇点) 开始，按逆拓扑顺序依次计算每个事件的最晚发生时间 $v_l(i)$ ;

# 代码实现

c++

	void critical_path(ALGraph *G) //Adjacency List Graph
	{
	int j, k, m ; LinkNode *p ;
	if (Topologic_Sort(G)==-1)
	printf("\nAOE网中存在回路,错误!!\n\n");
	else
	{
	for (j=0; j<G->vexnum; j++)
	ve[j]=0; // 事件最早发生时间初始化
	for (m=0 ; m<G->vexnum; m++)
	{
	j=topol[m] ;
	p=G->adjlist[i].firstarc ;
	for(; pl=NULL; p=p->nextarc )
	{
	k=p->adjvex;
	if (ve[j]+p->weight>ve[k])
	ve[k]=ve[j]+p->weight ;
	}
	}// 计算每个事件的最早发生时间 ve 值
	for ( j=0; j<G->vexnum; j++)
	vl[j]=ve[j];// 事件最晚发生时间初始化
	for (m=G->vexnum-1; m>=0, m--)
	{
	j=topol[m] ;
	p=G->adjlist[i].firstarc;
	for (; pl=NULL; p=p->nextarc)
	{
	k=p->adjvex ;
	if (vl[k]-p->weight<vl[j])
	vl[i]=$v_i$[k]-p->weight ;
	}
	}// 计算每个事件的最晚发生时间 vl 值
	for (m=0 , m<G->vexnum; m++)
	{
	p=G->adjlist[m].firstarc ;
	for(; p!=NULL; p=p->nextarc )
	{
	k=p->adjvex;
	if ( (ve[m]+p->weight)==l[k])
	printf("<%d, %d>, m, j");
	}
	}// 输出所有的关键活动
	}//end of else
	}

# 算法分析

设 AOE 网有 n 个事件，e 个活动，则算法的主要执行是:

进行拓扑排序：时间复杂度是 $O(n+e)$
求每个事件的 ve 值和 vl 值：时间复杂度是 $O(n+e)$
根据 ve 值和 vl 值找关键活动：时间复杂度是 $O(n+e)$

因此，整个算法的时间复杂度是 $O(n+e)$

图论 CS 算法数据结构