# 能量 / 功率 信号

# 能量信号

能量为一有界值，即 0 < E < + ∞，此时 P = 0

# 功率信号

功率为一有界值，即 0 < P < + ∞ ，此时 E = ∞

# 信号的分解

# 偶部与奇部

$$f(t)=f_e(t)+f_o(t)$$

偶部：

$$f_e(t)=\frac{1}{2}[f(t)+f(-t)]$$

奇部：

$$f_o(t)=\frac{1}{2}[f(t)-f(-t)]$$

# 实部与虚部

针对复函数而言

$$f(t)=Re\{f(t)\}+Im\{f(t)\}$$

实部：

$$Re\{f(t)\}$$

虚部：

$$Im\{f(t)\}$$

# 连续 / 离散 (时间) 信号

# 周期信号定义

• 连续周期信号 : $f(t+mT)=f(t)$ , T 为周期 m = 0,±1,±2,±3...
• 离散周期信号 : $f(k+mN) = f(k)$ , N 为周期 m = 0,±1,±2,±3...

当 T 或 N 趋于⽆无穷时，周期信号变为⾮非周期信号。

# 连续时间信号

定义域连续

在一定时间范围内，除若⼲不连续点之外，对任意时刻函数都有确定的函数值。 “连续” 的含义指定义域连续，⽽连续信号中可以含有不连续点。

# 普通连续信号

普通连续信号是指函数的定义域和值域没有不连续点 (即跳变点) 的信号。

# (实) 指数信号

$$f (t) = Ke^{αt}$$

指数函数求导、积分后仍为指数函数。

# 正弦信号

利用正弦函数与余弦函数表示的信号统称为正弦信号，可表示为

$$f(t)=A\cos(\omega t-\theta)$$

正弦信号求导、积分后仍然为正弦信号。

指数信号可以转化为正弦信号:

$$e^{j\omega t}=\cos\ \omega t+j\ \sin\ \omega t \\ e^{-j\omega t}=\cos\ \omega t-j\ \sin\ \omega t$$

指数信号可以转化为正弦信号:

$$\sin\ \omega t = \frac{1}{2j}( e^{j\omega t} - e^{-j\omega t})\\ \cos\ \omega t = \frac{1}{2}( e^{j\omega t} + e^{-j\omega t})$$

# 复指数信号

$$f (t) = Ke^{st} = Ke^{(σ+j\omega)t} = Ke^{σt}(\cos\ ωt + j\ \sin\ ωt)，$$

其中 $s=σ+j\omega_0$ 为复数

复指数信号中，$\sigma$ 决定增长衰减，$\omega_0$ 决定震荡快慢；

# 连续复指数信号的周期性

复指数信号是周期信号当且仅当 $\sigma$ = 1 且 $\omega_0\neq 0$

基波周期：$T=|\frac{2\pi}{\omega_0}|$

基波频率：$\omega_0$

# 成谐波关系的连续复指数信号集

$$\{\varphi_k(t) \}=\{ e^{jk\omega_0 t} \}\\ k=0,\pm1,\pm2......$$

一般假设 $\omega_0 \gt 0$ ，该集合中的每个信号都是周期的，它们的基波频率分别为 $k\omega_0$ ，都是 $\omega_0$ 的整数倍，因而称它们是成谐波关系的。

各次谐波的基波周期分别为 $T_k =\frac{2\pi}{|k\omega_0|}$ ，它们的公共周期是 $T_0=\frac{2\pi}{\omega_0}$。

• $k=0$ 称为直流分量
• $k=\pm1$ 称为基波分量
• $k=\pm2$ 称为二次谐波分量
• ... 等等...

# 一般连续复指数信号

$$f (t) = Ke^{st} = |K|e^{j\theta}e^{(σ+j\omega_0)t} = Ke^{σt}e^{j(\omega_0+\theta)}，$$

其中 $s=σ+j\omega_0$， $K=|K|e^{j\theta}$ 为复数

该信号可看成是振幅按实指数信号规律变化的周期性复指数信号。它的实部与虚部都是振幅呈实指数规律变化的正弦振荡。

# 抽样信号

$$Sa(t)=\frac{\sin\ t}{t} \\ \lim_{t\to \infin}Sa(t)=0 \ \ ;\ \ \lim_{t\to 0}Sa(t)=1 \\ \int_{0}^{+\infin}Sa(t)\ d\ t=\frac{\pi}{2}\ \ ;\ \ \int_{-\infin}^{+\infin}Sa(t)\ d\ t=\pi$$

# 高斯函数 “钟形信号”

即正态分布 PDF

$$\varphi(t) = \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{(t-\mu)^2}{2\sigma^2}}$$

# 奇异信号

奇异信号是指函数本身或其导数与积分有不连续点 (即跳变点) 的信号。

# 单位斜坡信号 (ramp)

$$\begin{aligned} r(t) = \begin{cases} t & t \geq 0 \\ 0 & t \lt 0 \end{cases} \end{aligned}$$

# 符号函数 (signal)

$$\begin{aligned} sig(t) = \begin{cases} 1 & t \gt 0 \\ 0 & t = 0 \\ -1 & t \lt 0 \end{cases} \end{aligned}$$

# 单位阶跃信号

$$\begin{aligned} u(t)=\varepsilon(t) = \begin{cases} 1 & t \gt 0 \\ \text{undifined} & t = 0 \\ 0 & t \lt 0 \end{cases} \end{aligned}$$

t = 0 处函数无定义 (部分教材规定 t = 0 时取 $\frac{1}{2}$)

有的教材用 $u(t)$ 也有的教材用 $\varepsilon(t)$

# 单位延迟阶跃信号

$$\begin{aligned} \varepsilon(t-t_0) = \begin{cases} 1 & t \gt t_0 \\ \text{undifined} & t = t_0 \\ 0 & t \lt t_0 \end{cases} \end{aligned}$$

# 物理意义

• ε(t) 表示信号 f (t) = 1 在 t = 0 时刻接⼊系统。
• f (t) ε(t) 表示信号 f (t) 在 t = 0 时刻接入系统。
• f (t) ε(t - t₀ ) 表示信号 f (t) 在 t = t₀ 时刻接⼊系统。

# 与斜坡信号的关系

$$r(t)=t\ \varepsilon(t)\\ \frac{d\ r(t)}{d\ t}=\varepsilon(t) \\ \int_{-\infin}^{t}\varepsilon(\tau)\ d\ \tau=r(t)$$

# (单位) 冲激信号

# 物理定义

$$\delta(t)=\lim_{\tau\to 0}\frac{1}{\tau}[\varepsilon(t+\frac{\tau}{2})-\varepsilon(t-\frac{\tau}{2})] \\ \delta(t-t_0)=\lim_{\tau\to t_0}\frac{1}{\tau}[\varepsilon(t+\frac{\tau}{2}-t_0)-\varepsilon(t-\frac{\tau}{2}-t_0)]$$

# 狄拉克定义

$$\delta (t)= \begin{cases} \int_{-\infin}^{+\infin}\delta (t)\ d\ t=1 \\ \delta (t)=0,t\neq 0 \end{cases}$$

$$\delta (t-t_0)= \begin{cases} \int_{-\infin}^{+\infin}\delta (t-t_0)\ d\ t=1 \\ \delta (t)=0,t\neq t_0 \end{cases}$$

# 广义函数定义

$$\int_{-\infin}^{+\infin}\delta (t)\ \varphi(t)\ d\ t =\varphi (0) \\ \int_{-\infin}^{+\infin}\delta (t-t_0)\ \varphi(t)\ d\ t =\varphi (t_0)$$

# 取样性

即广义函数定义，注意在有限区间同样有取样性

# 尺度变化特性

$$\delta (a\ t)=\frac{1}{|a|}\delta (t) \\ \delta (a\ t-t_0)=\frac{1}{|a|}\delta (t-\frac{t_0}{a}) \\ \int_{-\infin}^{+\infin}f(t)\ \delta (a\ t-t_0)=\frac{1}{|a|}f(\frac{t_0}{a}) \\ a\neq 0$$

# 与普通函数相乘

$$f(t)\ \delta(t)=f(0)\ \delta(t) \\ f(t)\ \delta(t-t_0)=f(t_0)\ \delta(t-t_0)$$

# 与阶跃信号的关系

$$\frac{d}{d\ t}\varepsilon(t)=\delta(t)$$

若信号的函数值有跳变，则信号在跳变点处的导数为冲激信号，其中冲击强度为信号在跳变点的跳跃值

# (单位) 冲激偶信号

# 定义

单位冲激信号的 “奇函数版本”，且是单位冲激信号的导函数

$$\delta '(t)=\frac{d}{d\ t}\delta (t)$$

# 与普通函数相乘

$$f(t)\delta'(t)=f(0)\delta'(t)-f'(0)\delta(t) \\ f(t)\delta'(t-t_0)=f(0)\delta'(t-t_0)-f'(0)\delta(t-t_0)$$

# 筛选特性

$$\int_{-\infin}^{+\infin}f(t)\delta'(t)d\ t=-f'(0) \\ \int_{-\infin}^{+\infin}f(t)\delta'(t-t_0)d\ t=-f'(t_0)$$

# 尺度变化特性

$$\delta'(a\ t)=\frac{1}{a|a|}\delta'(t) \\ a\neq 0$$

# 离散时间信号

定义域离散

仅在一些离散时刻才有意义，⽽而在其他时刻⽆无定义。离散时间⼀一般为均匀间隔，“离散” 是指信号的定义域是离散的。

# 基本离散信号

# 单位序列

单位序列列 δ(k) 亦称单位样值序列列，类似于连续时间信号中的 δ(t)

$$\delta (k)= \begin{cases} 1 & k=0 \\ 0 & k\neq 0 \end{cases}$$

$$\delta (k-i)= \begin{cases} 1 & k=i \\ 0 & k\neq i \end{cases}$$

# 单位阶跃序列

单位阶跃序列 ε(k) 类似于连续时间信号中的单位阶跃函数 ε(t)

$$\varepsilon (k)= \begin{cases} 1 & k \geq 0 \\ 0 & k \lt 0 \end{cases}$$

$$\varepsilon (k-i)= \begin{cases} 1 & k \geq i \\ 0 & k \lt i \end{cases}$$

# 单位序列 δ(k) 转化为单位阶跃序列 ε(k)

$$\varepsilon (k)=\sum_{j=0}^{+\infin}\delta(k-j)$$

# 单位阶跃序列 ε(k) 转化为单位序列 δ(k)

$$\delta(k)=\varepsilon(k)-\varepsilon(k-1)$$

# 单边指数序列

$$f (k) = \alpha^{k}\varepsilon(k)\ ,\ \ k \in z$$

当 |α| > 1 时，序列列发散，|α| < 1 时，序列列收敛；

当 α > 0 时，序列列恒正， α < 0 时，序列列正负交错。

# 正弦序列

$$f (k) = \cos\ \omega_0\ k\ ,\ \ k \in z$$

$\omega_0$ 为数字角频率，其与连续正弦信号的⻆频率不同，详见数字信号处理

不是所有的正弦序列都是周期序列，因为正弦序列为连续正弦信号的抽样

# 离散正弦序列的周期性

正弦序列是周期序列当且仅当

$$\exist k\in z\ \ ,\ \ \omega_0 | 2k\pi$$

# 复指数序列

$$f (k) = e^{(\alpha +j\omega_0)k} = e^{\alpha k}e^{j\omega_0 k}=e^{\alpha k}(\cos\ \omega_0k +j\ \sin\ \omega_0k)\\ k \in z$$

# 离散复指数序列的周期性

$\alpha=0$，$\omega_0\neq0$ 时实部虚部均等幅正弦序列，对应连续复指数信号是周期信号，离散复指数序列才有可能是周期序列，因为离散复指数序列为连续复指数信号的抽样

复指数序列是周期序列当且仅当

$$\exist N,m\in z\\ \frac{2\pi}{\omega_0}=\frac{N}{m} \\ \lrArr e^{j\omega_0N} = 1\\ \lrArr e^{j\omega_0n} = e^{j\omega_0n}\cdot e^{j\omega_0N} = e^{j\omega_0(n+N)} \\ \lrArr x[k]=x[k+N]$$

也就是当且仅当 $\omega_0=q\pi$ 其中 $q$ 为有理数时复指数序列为周期序列。

当 $N$ 与 $m$ 互质（无公因子）时：

基波周期：$N=\frac{2π}{\omega_0}m$；

基波频率为：$\omega=\frac{2π}{N}=\frac{\omega_0}{m}$；

# 成谐波关系的离散复指数信号集

$$\{\varPhi_k[n] \}=\{ e^{j\frac{2\pi}{N}kn} \}\\ k=0,\pm1,\pm2......$$

该信号集中的每一个信号都是以 $N$ 为公共周期的，频率是 2π 的整数倍。

与连续时间情况不同，该信号集中的信号并不都是彼此独立的。显然有：

$$\varPhi_{k+N}[n] = \varPhi_k[n]$$

该信号集中只有 N 个信号是独立的。即当 k 取相连的 $N$ 个整数时所对应的各个谐波才是彼此独立的。

根据集合定义，那么实际上这个信号集的元素个数是 $N$ 个。

# 信号的基本运算

# 平移与反转

连续信号和离散信号的运算一致

• 沿横轴向左平移：$f(t) \to f(t+t_0)$
• 沿横轴向右平移：$f(t) \to f(t-t_0)$
• 沿纵轴镜像翻转：$f(t) \to f(-t)$

# 尺度变换

对于离散信号，⼀般不做尺度变换，因为可能丢失序列信息，只对连续信号尺度变换

$$f(t) \to f(a\ t)$$

横轴变为原来的 $\frac{1}{a}$ 倍

# 连续信号的求导与积分

# 离散信号的差分与求和

好离散信号的前向 (一阶) 差分

$$\Delta f(k)=f(k+1)-f(k)$$

好离散信号的后向 (一阶) 差分

$$\nabla f(k)=f(k)-f(k-1)$$

# 信号的运算的综合运⽤

平移、反折、压缩等各种运算均对独⽴、单一的变量 t 计算，⽽不是对 at 或 at + b 整体计算

对于 f (t) → f(at + b) 先平移，后尺度 (含反折)，即 f (t) → f(t + b) → f(at + b)

对于 f (at + b) → f(t) 先尺度 (含反折)，后平移，即 f (at + b) → f(t + b) → f(t)