# 群 (Group) 的定义

如果集合 G 及其二元运算 $\cdot$ 满足下面的性质，则称 $(G,\cdot )$ 是群：

• 二元运算 $\cdot$ 满足结合律：即 $∀a,b,c\in G$ 有 $(a\cdot b)\cdot c=a\cdot(b\cdot c)$；
• 有单位元 $e$，即存在 $e\in G$，使得 $∀a\in G$ 有 $e\cdot a=a\cdot e=a$；
• $∀a\in G$ 关于 $\cdot$ 有逆元 $a^{-1}$，即 $∀a\in G$，存在 $b\in G$，使得 $a\cdot b=b\cdot a=e$，记 $b$ 为 $a^{-1}$；

从代数系统角度说，群有三个运算：

• 二元运算 $\cdot$；
• 一元运算 $(-)^{-1}$；
• 零元运算 $e$；

其中二元运算占主导地位，在谈到群时经常只明确给出它的二元运算。进一步，在上下文能明确其运算时，人们通常直接称集合 $G$ 是群

如果集合 $S$ 有满足结合律的二元运算 $\cdot$ ，则称 $(S,\cdot)$ 是半群 (semi-group)

如果 $\cdot$ 还有单位元 $e$，则称 $(S,\cdot,e)$ 是独异点 (monoid)

# 常用群举例

# 整数加群

整数集 Z 及整数加法运算构成群，称为整数加群

• 单位元是 $0$。
• 每个整数 $z$ 的逆元是 $-z$。

# 模 m 剩余类加群 $\mathbb{Z}_m$

对整数 $m≥2$，记 $\mathbb{Z}_m=\{0,1,\cdots,m-1\}$，$\mathbb{Z}_m$ 及 模 $m$ 加 $\oplus_m$ 构成群，称为模 $m$ 剩余类加群

$0$ 是单位元，对每个整数 $z\in \mathbb Z_m$，它的逆元是 $((-z)+m)\bmod m$

# $\mathbb{Q^*}$ $\mathbb{R^*}$ $\mathbb{C^*}$ 乘法群

整数集 $\mathbb Z$ 关于整数乘法不构成群，但非零有理数集$\mathbb Q^*$、非零实数集 $\mathbb R^*$、非零复数集 $\mathbb C^*$ 关于数的乘法运算构成群

# 实矩阵乘法群

记实数域上的 n 阶方阵构成的集合为 $M_n (\mathbb R)$，则它关于矩阵加法构成群；记实数域上的 n 阶可逆方阵构成的集合为 $GL_n (\mathbb R)$，则它关于矩阵乘法构成群

# 双函数复合群

集合 S 上的所有双函数 $f:S→S$ 及复合构成群

• 恒等函数是单位元
• 逆函数给出逆元

# 模 m 单位群 U (m)

$\mathbb Z_m$ 及 模 m 乘 $⊗_m$ 不构成群，但令$U(m)=\{a∣a\in Z_m \text{且a与m互质}\}$，则 U (m) 与$⊗_m$ 构成群，称为模 m 单位群

• 1 是单位元
• 对每个整数 $z\in U(m)$，它的逆元是同余方程 $xz≡1(\text{mod} m)$ 的解
  • 利用贝祖定理（即 $∀a,b\in \mathbb Z^+，\exist s, t\in \mathbb Z,gcd⁡(a,b)=as+bt$）可证明 U (m) 对 $⊗_m$ 封闭，以及上述同余方程解的存在性，也即逆元的存在性

当 p 是素数，则 U (p) 群也记为 $\mathbb Z_p^*$

模 m 单位群的阶：$|U(m)|=ϕ(m)$，这里 $ϕ(m)$ 是欧拉函数，即：

$$|U(m)|=ϕ(m)=m\prod_{i=1}^{s}(1-\frac{1}{p_i} )$$

这里 $p_1,⋯, p_s$ 是 m 的 s 个不同的素因子

# 具体群举例

# 群的一些术语

# 交换群

群的运算不一定满足交换律，满足交换律的群称为交换群，也称为阿贝尔群

# 群的阶

群 G 的元素个数（准确地说 G 的基数）|G | 称为群 G 的阶 (order)，如果 G 是有穷集，则称为有穷群（有限群），否则称为无穷群（无限群）

# 加群

当群称为加群时通常将它：

• 单位元记为 0
• 元素 a 的逆元记为 - a
• 运算称为加法
• 运算的结果称为和
• 运算用加号 + 表示

# 乘群

将不是加群的群称为乘群，并将：

• 乘群的单位元通常用 1 或 e 表示
• 元素 a 的逆元用$a^{-1}$ 表示
• 运算称为乘法
• 运算结果称为积
• 运算用 $\circ$ 或 $\cdot$ 或 * 表示，但通常省略不写！

# 群的一些基本性质

群有单位元，因此群不可能是空集

群要求每个元素都有逆元，而运算的零元不可能有逆，因此群没有零元（除平凡群 $(\{e\},\circ)$ 外）！

# 逆运算基本性质

设 $G$ 是群，有：

$$∀a\in G，(a^{-1})^{-1}= a$$

$$∀a, b\in G, (ab)^{-1}= b^{-1} a^{-1}$$

---

证明

根据逆元的定义有 $a$ 和 $a^{-1}$ 互为逆元。

(b^{-1} a^{-1})(ab)=b^{-1}(a^{-1}a)b=b^{-1}eb=b^{-1} b=e$

类似地:

$$ab(b^{-1}a^{-1})=e$$

因此 $ab$ 与 $b^{-1}a^{-1}$ 互为逆元。

# 群满足消去律

群的二元运算满足消去律：

设 $G$ 是群，对任意 $a,b,c\in G$, $ab=ac$ 蕴涵 $b=c$ ，同样 $ba=ca$ 蕴涵 $b=c$。

---

证明

若 $ab=ac$，则有 $a^{-1}(ab)=a^{-1} (ac)$

而群运算满足结合律，因此 $(a^{-1} a)b=(a^{-1} a)c$

而$a^{-1} a=e$，$e$ 是单位元，从而有 $b=c$；

同理可证 $ba=ca$ 蕴涵 $b=c$。

# 群的充要条件 1

给定非空集 $G$ 及其上的二元运算（假定是乘法运算而省略其运算符号）。$G$ 关于该二元运算构成群的充分必要条件是：

• $G$ 的二元运算满足结合律
• $G$ 的二元运算有左单位元：即存在 $e\in G$ 使得对任意的 $a\in G$ 有 $ea=a$；
• $G$ 的每个元素相对左单位元有左逆元：即 $\forall a\in G$，存在 $a'\in G$ 使得 $a'a=e$；

证明：

$$\forall a\in G,\ \ \exist a'\in G,\ \ a'a=e\\ aa'a=a\\ a(a'a)=a\\ ae=a$$

所以 e 也是右单位元；

$$\forall a\in G,\ \ \exist a'\in G,\ \ a'a=e\\ \exist a''\in G,\ \ a''a'=e \\ aa'=eaa'=a''a'aa'=a''(a'a)a'=a''ea'=a''a'=e$$

所以 每个元素的左逆元也是右逆元。

# 群的充要条件 2

给定非空集 $G$ 及其二元运算，且该二元运算满足结合律。$G$ 构成群的充分必要条件是：

对任意的 $a,b\in G$，方程 $ax=b$ 与 $ya=b$ 在 $G$ 中都有解。

# 问题 5

给定非空集 $G$ 及其上的二元运算（假定是乘法运算而省略其运算符号）满足：

• 该运算有左单位元 $e$ ，即 $∀a\in G$ 有 $ea=a$；
• 对关于该左单位元，每个元素有右逆，即任意 $a\in G$ ，存在 $b$ 使得 $ab=e$；

请问 $G$ 关于该运算是否一定构成群？

# 群的充要条件 3

给定非空有限集 $G$ 及其二元运算，该二元运算满足结合律且满足消去律，即对任意 $a, b, c\in G$ ，$ab = ac$ 蕴含 $b = c$ 以及 $ba = ca$ 蕴含 $b = c$ 。

证明 $G$ 关于该运算构成群。

# 群的幂运算

# 定义

设 $(G,\circ)$ 是群，定义群的幂运算：$∀a\in G, ∀n\in Z$ ，定义 $a$ 的 $n$ 次幂，记为 $a^n$：

# 加群的幂运算

对于加群，元素的幂运算实际上是倍数运算。

• 例如对于整数加群 $(Z, +)$ ，整数 $z$ 的 $n$ 次幂实际上是 $nz$ 。这时有：
  • $0z=0$；
  • $(-nz)= n(-z)$；
  • $nz + mz = (n+m)z$；
  • $m(nz)= (mn)z$；

# 基本性质

设 $(G, \circ)$ 是群，对任意 $a\in G,\ \ m, n\in Z$ ，有：

$$a^n\circ a^m= a^{n+m}\\(a^n )^m=a^{nm}$$

---

证明

• 先对于 $m≥0$，对 $m$ 实施数学归纳法；
• 再对于 $m<0$ ，利用 $a^m=(a^{-1})^{-m}$。

# 常用性质

设 $a,b$ 是群 $G$ 的元素，容易得到：

$$\forall n\in \mathbb Z\ ,\ (aba^{-1} )^n=ab^n a^{-1}$$

# 群元素的阶

# 定义

群 $(G,∘)$ 元素 $a$ 的阶 (order)，记为 $|a|$ ，是指最小的正整数 $k$ 使得 $a^k=e$ ，若这样的正整数不存在，则称元素 $a$ 的阶无穷

# 任意幂的阶

设 $G$ 是群，$e$ 是其单位元，$a$ 是 $G$ 的任意元素，且 $|a|=n$：

• 对任意整数 $m$ ，$a^m=e$ 当且仅当 $n|m$；
• 特别的，$m=-1$ 时，$|a^{-1}|=n$；
• 对任意整数 $m$ : $|a^m| = \frac{n}{gcd(n, m)}$；

# 阶内运算可轮换

设 $a,b,c$ 是群 $G$ 的元素，证明：

• $|a|=|a^{-1}|=|cac^{-1}|$ ；
• $|ab|=|ba|$；
• $|abc|=|bca|=|cab|$；

---

(2) 因为 $ab = a(ba)a^{-1}$ ，所以由 (1) 可知：

$$|ab|=|a(ba)a^{-1}|=|ba|$$

---

(3) 因为:

• $abc=a(bc)$
• $bca=(bc)a$
• $cab=(ca)b$

因此由 (1) 可知：

$$|abc|=|a(bc)|=|(bc)a|=|bca|=|b(ca)|=|(ca)b|=|cab|$$

# 子群

# 定义

设 $G$ 是群，$H$ 是 $G$ 的子集，如果 $H$ 关于 $G$ 的运算也构成群，则称 $H$ 是 $G$ 的子群，记为：

$$H\leq G$$

若 $H$ 是 $G$ 的子群，且 $H≠G$ ，则称 $H$ 是 $G$ 的真子群，记为：

$$H\lt G$$

显然 $H=\{e\}$ 是 $G$ 的子群，这里 $e$ 是 $G$ 的单位元，将 $\{e\}$ 和 $G$ 自己称为群 $G$ 的平凡子群，其他子群称为非平凡子群

# 子群判定定理 1

给定 $G$ 是群，$H⊆G$ 关于 $G$ 的运算构成群，也就是 $H$ 是 $G$ 的子群当且仅当：

• $H$ 对 $G$ 的 (二元) 运算封闭
• $H$ 对零元运算封闭，即 $G$ 的单位元应属于 $H$；
• $H$ 对一元运算封闭，即 $\forall a\in H,\ \ a^{-1}\in H$；

# 子群判定定理 2

群 G 的非空子集 H 是 G 的子群当且仅当：

• $e\in H$；
• $∀a, b\in H,\ \ \ ab\in H$；

# 子群判定定理 3

群 G 的非空子集 H 是 G 的子群当且仅当：

• $∀a, b\in H,\ \ \ ab^{-1}\in H$；
• 或 $∀a, b\in H,\ \ \ b^{-1}a\in H$；

# 群的中心

定义群 G 的中心 ：

$$C=\{a\in G∣∀x\in G, xa=ax\}$$

即 C 是 G 中那些与 G 的任何元素都可交换的元素构成的集合.

证明：C 是 G 的子群 ( $C\leq G$ )

• 首先 C 是否是非空集？哪个元素一定属于 C？
• 其次，如何运用子群的判定定理证明 C 是 G 的子群？
  • 例如利用子群判定定理二，如何证明对任意 a, b\in C，都有 ab^-1\in C ？
  • 或者利用子群判定定理一，证明对任意 a\in C 有 a^-1\in C，以及对任意 a,b\in C 有 ab\in C ？

---

首先，由群的性质：$\forall x\in G,\ \ \ xe=ex=e$ ，所以 $e\in C$ ，因此 C 非空。

对 $\forall a,b\in C$ ，为证明 $ab^{-1}\in C$ 只需证明它与 G 中所有元素都可交换即可。

$\forall x\in G$ ，有：

$$\begin{aligned} (ab^{-1})x &=ab^{-1}(x^{-1})^{-1}\\ &=a(x^{-1}b)^{-1}\\ &\overset{b\in C}{=}a(bx^{-1})^{-1}\\ &=a(xb^{-1})\\ &\overset{\text{结合律}}{=}(ax)b^{-1}\\ &\overset{a\in C}{=}(xa)b^{-1}\\ &\overset{\text{结合律}}{=}x(ab^{-1}) \end{aligned}$$

# 交并与子群的关系

设 $G$ 是群，且 $H≤G$ , $K≤G$ ，证明：

• $ H\cap K≤G$（交保持子群，可推广）
• $ H∪K≤G$ 当且仅当 $H⊆K$ 或 $K⊆H$（并保持子群的充要条件）

# 生成子群

简单地说，群 $G$ 的一个子集的生成子群就是包含这个子集的最小的子群。群 $G$ 的子集 $S$ 的生成子群记为：

$$⟨S⟩$$

两个子群的交总是子群这个命题可推广到任意多个子群的交也总是子群，从而对于群 $G$ 的某个子集 $S$ ，可给出包含 $S$ 的最小子群，这个子群就是 $S$ 的生成子群 $⟨S⟩$ ，可由所有包含 $S$ 的子群的交给出，即：

$$\text{<}S\text{>}=\cap\{H|S\subseteq H \land H\leq G\}$$

• 如果 $S$ 为有限集 $S=\{a_1, a_2,\cdots,a_n\}$ ，将 $⟨S⟩$ 直接记为 $⟨a_1, a_2,\cdots,a_n ⟩$；
• 对于群 $G$ ，若存在 $a\in G$ ，使得 $G=⟨a⟩$ ，即 $G$ 是由元素 $a$ 生成的群，这时称 G 为循环群。

# 生成子群元素的表示

设 $G$ 是群，$S$ 是 $G$ 的非空子集，则：

$$⟨S⟩=\cap\{a_{1}^{l_{1}}a_{2}^{l_{2}}...a_{k}^{l_{k}}| a_{i}\in S,\ \ \ l_{i}=\pm 1,\ \ \ k\in\mathbb{N} \}$$

即 $⟨S⟩$ 的任意元素可表示成有限个 S 的元素或其逆的乘积

# 循环群

设 $G$ 是群，如果存在 $a\in G$ 使得

$$G=⟨a⟩=\{a^k | k\in Z\}$$

则称 $G$ 是循环群 (cyclic group)，并称 $a$ 为 $G$ 的一个生成元

• 当 $G$ 是无限集时称为无限循环群
• 当 $G$ 有 $n$ 个元素时，称为 n 阶循环群

# 性质 (不考证明)

设 $G$ 是群，$e$ 是它的单位元

1. $⟨a^{-1}⟩= ⟨a⟩$；
2. 若 $G$ 是有限群，则 $G=⟨a⟩⟺|G|= |a|$；
3. 若 $G$ 是无限循环群，则
   • $G = \{e, a, a^{-1}, a^2, a^{-2}, ⋯, a^n, a^{-n}, ⋯\}$；
   • $\forall k, l\in Z,\ \ \ a^k= a^l⟺k= l$；
4. 若 $G$ 是 $n$ 阶循环群，则
   • $G = \{e, a, a^2, a^{3}, ⋯, a^{n-1}\}$；
   • $\forall k, l\in Z,\ \ \ a^k = a^l ⟺n | k-l$；

# 循环群举例

整数加群 $\mathbb Z$ 是无限循环群

显然 $\mathbb Z= ⟨1⟩= ⟨-1⟩$ ， 即 1 和 -1 是它的生成元

对任意 $d\in \mathbb Z$ ，若 $d≠±1$ ，显然有 $1\not\in⟨d⟩$ ，因此 1 和 -1 是 $\mathbb Z$ 的仅有的两个生成元。

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模 $m$ 加群 $\mathbb Z_m$ 是 $m$ 阶循环群，显然 $\mathbb Z_m=⟨1⟩$。

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$U(5)$ 是 4 阶循环群，$U(5)=⟨2⟩=⟨3⟩$；

当 $m$ 是素数时，$U(m)$ 是 $m-1$ 阶循环群（证明这个需要不少数论知识）

当 $m$ 不是素数时：

• $U(m)$ 可能是循环群（例如 $U(9)=\{1,2,4,5,7,8\}=⟨2⟩$ ）
• 也可能不是循环群（例如$U(15)=\{1,2,4,7,8,11,13,14\}$ ）

# 生成元的数量与结构

---

# 子群保持循环群

循环群的任意子群都是循环群

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# 问题

如果一个群的所有非平凡子群都是循环群，那么这个群一定是循环群吗？

不一定！

$U(12)=\{1,5,7,11\}$ 不是循环群，但它的每个非平凡子群都是循环群！

$|1|=1 , |5| = 2 , |7| = 2 , |11| = 2$ ，可见 $U(12)$ 的所有非平凡子群都是二阶群，不难证明所有二阶群都是循环群

# 生成元任意幂的生成子群

# 循环群的子群⭐️

例题：

$\mathbb{Z}_{14}$ 加群的所有子群是：

• $⟨1⟩=\mathbb{Z}_{14}$、
• $⟨2⟩=\{0,2,4,6,8,10,12,14\}$、
• $⟨7⟩=\{0,7\}$、
• $⟨0⟩={0}$、

$U(14)$ 的所有子群是：

• $⟨3⟩$、
• $⟨3^2=9⟩$、
• $⟨3^3=13⟩$、
• $⟨3^6=1⟩$、