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# 群的同态

# 定义

设 GG 与 G′G' 是两个群，函数 φ:G→G′φ:G→G' 如果满足：

∀a,b∈G,φ(ab)=φ(a)φ(b)∀a,b\in G,\ \ φ(ab)= φ(a)φ(b)

则 φφ 是群 GG 到 G′G' 的同态 (homomorphism)（一个函数）

φ(a)φ(b)φ(a)φ(b) 是 G′G' 中的运算，而 abab 是 GG 中的运算

考察同态 φ\varphi 作为函数的性质，可以将同态分为：

  • 如果 G=G′G=G' ，则称 φφ 为自同态 (automorphism)；
  • 如果同态 φ:G→G′φ:G→G' 是满函数，则称为满同态 (epimorphism)，并称 GG 与 G′G' 同态，记为φ:G∼G′φ:G∼G'；
  • 如果同态 φ:G→G′φ:G→G' 是单函数，则称为单同态 (monomorphism)；
  • 如果同态 φ:G→G′φ:G→G' 是双函数，则称为同构 (isomorphism)，并称群 GG 与 G′G' 同构，记为 φ:G≅G′φ:G≅G'；

# 群同态的单位元

若 ee 是 GG 的单位元，则 φ(e)\varphi(e) 是 G′G' 的单位元；

设 G′G' 的单位元 e′e' ，则:

φ(e)φ(e)=φ(ee)=φ(e)=φ(e)e′\varphi(e)\varphi(e)=\varphi(ee)=\varphi(e)=\varphi(e)e'

从而由群的运算满足消去律得 φ(e)=e′\varphi(e)=e' 。

# 群同态的逆元

群同态与求逆元操作可交换：

∀a∈G,(φ(a))−1=φ(a−1)\forall a\in G,\ \ (\varphi(a))^{-1}=\varphi(a^{-1})

证明， 对任意的 a∈Ga\in G :

φ(a−1)φ(a)=φ(a−1a)=φ(e)=e′φ(a)φ(a−1)=φ(aa−1)=φ(e)=e′\varphi(a^{-1})\varphi(a)=\varphi(a^{-1}a)=\varphi(e)=e'\\ \varphi(a)\varphi(a^{-1})=\varphi(aa^{-1})=\varphi(e)=e'

这就表明在群 G′G' 中，φ(a)\varphi(a) 的逆元是 φ(a−1)\varphi(a^{-1}) ，即 φ(a))−1=φ(a−1)\varphi(a))^{-1}=\varphi(a^{-1}) 。

# 群同态例子

设 G,G′G,G' 是群，e′e' 是 G′G' 的单位元，函数 φ:G→G′φ:G→G' ，∀a∈G,φ(a)=e′∀a\in G,\ \ φ(a)=e' ，φ\varphi 是同态，称为 GG 到 G′G' 的零同态

对于整数加群 (Z,+)(Z,+) 和模 n 加群 (Zn,⊕n)(Z_n,⊕_n) ，函数 φ:Z→Znφ:Z→Z_n ，∀z∈Z,φ(z)=zmodn∀z\in Z, φ(z)= z \bmod n， φ\varphi 是满同态：

∀z1,z2∈Z,φ(z1+z2)=(z1+z2)modn=(z1modn)⊕n(z2modn)=φ(z1)⊕nφ(z2)\begin{aligned} &∀z_1, z_2\in Z,\\ φ(z_1+z_2 )&=(z_1+z_2 )\bmod n\\ &= (z_1 \bmod n) ⊕_n (z_2 \bmod n)\\ &= φ(z_1 ) ⊕_n φ(z_2 ) \end{aligned}

对于实数加群 (R,+)(\mathbb R,+) 和非零实数集关于乘法构成的群 (R∗,⋅)(\mathbb R^*, \cdot ) ，固定某实数 a∈R(a≠0,1)a\in \mathbb R(a≠0,1) ，定义 φ:R→R∗,∀r∈R,φ(r)=arφ:\mathbb R→\mathbb R^*,\ \ ∀r\in \mathbb R, φ(r)= a^r ，φ\varphi 是单同态：

∀r,r′∈R,φ(r+r′)=ar+r′=ar⋅ar′=φ(r)⋅φ(r′)\begin{aligned} &∀r,r'\in \mathbb R,\\ φ(r+r')&=a^{r+r'}\\ &=a^r\cdot a^{r'}\\ &=φ(r)\cdot φ(r') \end{aligned}

# 群的同构

# 内自同构

内自同构

# 平移与正则表示

左平移、左正则表示的定义如下：

置换群 GlG_l 称为群 GG 的左正则表示 (left regular representation)，左乘置换 φaφ_a 称为由元素 aa 确定的左平移 (left translation)。

左平移和左正则表示

当然，类似的可以定义右平移、右正则表示

# 凯莱定理

每个群都同构与一个置换群（变换群）

凯莱定理证明

# 循环群的结构定理

  1. G=<a>G=<a> 是无限循环群，则 G≅(Z,+)G\cong(\mathbb Z,+) ；
  2. G=<a>G=<a> 是 nn 阶循环群，则 G≅(Zn,⊕n)G\cong(\mathbb Z_n,\oplus_n) ；

循环群结构定理证明

无限循环群中 ak=ala^k=a^l 蕴涵 k=lk=l ；

在 nn 阶循环群中 ak=ala^k=a^l 蕴涵 n∣k−ln|k-l ；

# 群同态的基本性质

# 群同态与元素的阶

群同态与元素的阶

群同态与子群-证明

# 群同态与子群

群同态与子群

⭐️特别地， H=GH=G 的时候这里就有：

φ(G)≤G′\varphi(G)\leq G'

群同态与子群-证明

# 群同态与正规子群

群同态与正规子群

φ(N)\varphi(N) 不一定是 G′G' 的正规子群！φ−1(M)\varphi^{-1}(M) 不一定是 GG 的正规子群！

群同态与正规子群-证明

# 群的同态基本定理

# 群同态的核

# 定义

群同态的核

:: primary

所有同态映射结果为单位元的原像的集合

:::

# 核是正规子群

群同态的核基本性质1

由上述引理可证：

设 φ:G→G′\varphi:G\to G' 是群 GG 到群 G′G' 的同态，则 Ker(φ)\text{Ker}(\varphi) 是 GG 的正规子群，也就是 Ker(φ)≤G\text{Ker}(\varphi)\leq G 。

# 群的同态基本定理

群的同态基本定理

群的同态基本定理-证明

::: primaty

结合群同态与子群的关系，就有：商群 G/Ker(φ)≅φ(G)=G′的某个子群≤G′G/\text{Ker}(\varphi)\cong\varphi(G)=G'\text{的某个子群}\leq G'

:::

# 正规子群与商群

由正规子群导出的商群的自然映射是满同态，且它的核是该正规子群，由群的同态基本定理有该正规子群与其导出的商群同构。

商群与自然映射

# 应用举例

正规子群与商群应用举例

# 第二同构定理

第二同构定理

证明

(1) 利用子群判定定理证明：∀h1,h2∈H,k1,k2∈K,(h1k1)(h2k2)−1∈HK∀h_1,h_2\in H,k_1,k_2\in K,\ \ (h_1k_1)(h_2k_2)^{-1}\in HK。

(2) 利用正规子群判断定理证明：对任意 h∈H,n∈H∩K,hnh−1∈H∩Kh\in H, n\in H\cap K, hnh^{-1}\in H\cap K；以及对 ∀h1∈H,∀k1∈K,∀n∈K\forall h_1\in H,\forall k_1\in K,\forall n\in K ，有：(h1k1)n(h1k1)−1∈HK(h_1k_1)n(h_1k_1)^{-1}\in HK 。

(3) 构造同态 φ:H→HK/Kφ:H→ HK/K ，使得 Ker(φ)=H∩K\text{Ker}(φ)=H\cap K。

# 第三同构定理

第三同构定理

# Zm\mathbb Z_m 到Zn\mathbb Z_n 的同态数

结论 —— 所有 Zm\mathbb Z_m 到 Zn\mathbb Z_n 的同态映射如下：

{φa:x‾→ax‾∣a=0,lcm(m,n)m,2lcm(m,n)m,3lcm(m,n)m,⋯,[gcd⁡(m,n)−1]lcm(m,n)m=n−lcm(m,n)m}\{\varphi_a:\overline{x}\to a\overline{x}|a=0,\frac{\text{lcm}(m,n)}{m},2\frac{\text{lcm}(m,n)}{m},3\frac{\text{lcm}(m,n)}{m},\cdots,[\gcd(m,n)-1]\frac{\text{lcm}(m,n)}{m}=n-\frac{\text{lcm}(m,n)}{m}\}

总共有 gcd⁡(m,n)\gcd(m,n) 个同态映射。

上面的两个 x‾\overline{x} (x‾→ax‾\overline{x}\to a\overline{x}) ，我们虽然使用了同一个记号，但它们代表的意义是不同的：

  • 前一个表示的是 Zm\mathbb Z_m 中的剩余类 {x+mz∣z∈Z}\{x+mz|z\in\mathbb Z\}；
  • 后一个表示的是 Zn\mathbb Z_n 中的剩余类 {x+nz∣z∈Z}\{x+nz|z\in\mathbb Z\}；

今后，在遇到此类情况时，我们都采用这样的记号，不再一一说明。读者应根据上下文，了解两个 x‾\overline{x} 的不同含义，以免混淆。

摘抄自《近世代数》(第二版，韩士安，林磊) 的参考答案。