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# 正规子群

# 定义

设 HH 是群 GG 的子群 （⚠️得先是子群），如果 ∀a∈G∀a\in G 都有 Ha=aHHa=aH ，则称 HH 是 GG 的正规子群 (normal subgroup) 或不变子群 (invariant subgroup)，记作:

H⊴GH\unlhd G

条件 Ha=aHHa=aH 仅表示两个集合 HaHa 与 aHaH 相等。不能错误地认为，由 Ha=aHHa=aH 可推出对 HH 的任意元素 hh 有 ha=ahha=ah。

正确的理解是：对任意 h∈Hh\in H ，存在 h′∈Hh^′\in H 使得 ha=ah′ha = ah'。

群 GG 的单位元子群 {e}\{e\} 和群 GG 本身都是 GG 的正规子群。这两个正规子群称为 GG 的平凡正规子群。如果 GG 只有平凡正规子群，且 G≠{e}G≠\{e\} ，则称 GG 为单群 (simple group)

# 交换群的子群

显然交换群 GG 的任意子群都是 GG 的正规子群

# 等价定义

设 HH 是群 GG 的子群，如果 HH 的任意一个左陪集也是它的一个右陪集，则 HH 是 GG 的正规子群

证明：

对任意 a∈Ga\in G ，HH 的左陪集 aHaH 也是 HH 的右陪集，即存在 b∈Gb\in G ，使得 aH=HbaH=Hb ;

同时 a∈aHa\in aH ，因此 a∈Hba\in Hb ；

而又有 a∈Haa\in Ha ，所以 a∈Ha∩Hba\in Ha\cap Hb ；

根据陪集的性质有 Ha=HbHa=Hb ，因此 Ha=Hb=aHHa=Hb=aH ，因此 HH 是 GG 的正规子群。

# 判定定理

设 GG 是群，NN 是 GG 的子群，则下列四个条件等价：

  1. NN 是 GG 的正规子群，即 ∀a∈G,aN=Na\forall a\in G,\ \ \ aN=Na；
  2. N≤GN\leq G 且 ∀a∈G,aNa−1=N\forall a\in G,\ \ \ aNa^{-1}=N；
  3. N≤GN\leq G 且 ∀a∈G,aNa−1⊆N\forall a\in G,\ \ \ aNa^{-1}\subseteq N；
  4. N≤GN\leq G 且 ∀a∈G,∀n∈N,ana−1∈N\forall a\in G,\forall n\in N,\ \ \ ana^{-1}\in N；⭐️

这些命题都用集合语言表达，要证明的无非是集合相等或子集关系

1⇒21\rArr 2：

因为 N⊴GN\unlhd G ，所以对任意的 a∈Ga\in G ，有 Na=aNNa=aN ，从而 aNa−1=(Na)a−1=N(aa−1)=NaNa^{-1}=(Na)a^{-1}=N(aa^{-1})=N。

2⇒32\rArr 3：

显然 aNa−1=NaNa^{-1}=N 蕴含 aNa−1⊆NaNa^{-1}\subseteq N。

3⇒43\rArr 4：

显然 aNa−1=NaNa^{-1}=N 蕴含 ∀a∈G,∀n∈N,ana−1∈N\forall a\in G,\forall n\in N,\ \ \ ana^{-1}\in N。

4⇒14\rArr 1：

若对任意 a∈G,n∈Na\in G,n\in N 有 ana−1∈Nana^{-1}\in N 从而可得：

an=(ana−1)a∈Naan=(ana^{-1})a\in Na

也就是得到 aN⊆NaaN\subseteq Na ；

类似的，仍然由对任意 a∈G,n∈Na\in G,n\in N 有 ana−1∈Nana^{-1}\in N 可得：

a−1na=(a−1)n(a−1)−1∈Na^{-1}na=(a^{-1})n(a^{-1})^{-1}\in N

从而有：

na=aa−1na=a(a−1na)∈aNna=aa^{-1}na=a(a^{-1}na)\in aN

也就是得到 Na⊆aNNa\subseteq aN ；

综合起来就有 Na=aNNa=aN ，即 NN 是 GG 的正规子群。

# 子集与正规子群

对于：

H⊆K⊆GH\subseteq K\subseteq G

  • 若 HH 是 GG 的正规子群，则 HH 也是 KK 的正规子群
  • 若 HH 是 KK 的正规子群，且 KK 是 GG 的正规子群，则推不出 HH 是 GG 的正规子群！也就是正规子群关系 ⊴/⊵\unlhd/\unrhd 对子集关系不具有传递性⚠️

# 子群交保持正规子群

设 GG 是群，H,KH,K 是 GG 的正规子群，则 H∩KH\cap K 也是 GG 的正规子群

证明

对于子群的交，首先由子群判定定理，不难得到当 HH 和 KK 是子群时，H∩KH\cap K 也是子群。

对任意 a∈G,h∈H∩Ka\in G,h\in H\cap K ，由 HH 和 KK 是正规子群有 aha−1∈Haha^{-1}\in H 且 aha−1∈Kaha^{-1}\in K ，从而 aha−1∈H∩Kaha^{-1}\in H\cap K ，因此 H∩KH\cap K 也是正规子群。

# 子群乘保持正规子群

设 GG 是群，H,KH,K 是 GG 的正规子群，则 HKHK 也是 GG 的正规子群

对于 HKHK ，首先对任意 h1k1,h2k2∈HKh_1k_1,h_2k_2\in HK ，有 h1k1(h2k2)−1=h1k1k2−1h2−1h_1k_1(h_2k_2)^{-1}=h_1k_1k_2^{-1}h_2^{-1} ；

由于 KK 是子群，有 k1k2−1∈Kk_1k_2^{-1}\in K ，即存在 k1k2−1=k∈Kk_1k_2^{-1}=k\in K ;

而 KK 是正规子群，满足 h1K=Kh1h_1K=Kh_1 ，所以存在 k′∈Kk'\in K 使得 h1k=k′h1h_1k=k'h_1 ；

因此：

h1k1(h2k2)−1=h1k1k2−1h2−1=h1kh2−1=k′h1h2−1h_1k_1(h_2k_2)^{-1}=h_1k_1k_2^{-1}h_2^{-1}=h_1kh_2^{-1}=k'h_1h_2^{-1}

由于 HH 是子群，有 h1h2−1∈Hh_1h_2^{-1}\in H ，即存在 h1h2−1=h∈Hh_1h_2^{-1}=h\in H ;

而 KK 是正规子群，满足 hK=KhhK=Kh ，所以存在 k′′∈Kk''\in K 使得 k′h=hk′′k'h=hk'' ；

因此：

h1k1(h2k2)−1=k′h1h2−1=k′h=hk′′∈HKh_1k_1(h_2k_2)^{-1}=k'h_1h_2^{-1}=k'h=hk''\in HK

所以 HKHK 是 GG 的子群。

进一步，对任意 a∈G,hk∈HKa\in G,\ \ \ hk \in HK ，由 HH 是正规子群，存在 h′∈Hh'\in H ，使得 ah=h′aah= h'a ，从而有 ahka−1=h′aka−1ahka^{-1}=h'aka^{-1} ；

而 KK 是正规子群，所以 aka−1∈Kaka^{-1}\in K ，所以 ahka−1=h′aka−1∈HKahka^{-1} =h'aka^{-1}\in HK ，从而 HKHK 也是正规子群。

# 双陪集正规子群

名字乱起的，只为了好记

一个子群只有 2 个陪集，则它一定是正规子群

证明

显然这 2 个陪集就是 HH 和 G−HG-H；

∀a∈G\forall a\in G ，若 a∈Ha\in H ，则显然因为 e∈He\in H ，所以 ae=ea=a∈Hae=ea=a\in H ，且 ae∈aH,ea∈Haae\in aH,ea\in Ha ，所以此时 aH=H=HaaH=H=Ha；

若 a∉Ha\notin H ，则因为 e∈He\in H ，所以 ae=ea=a∉Hae=ea=a\notin H ，且 ae∈aH,ea∈Haae\in aH,ea\in Ha ，所以此时 aH≠H,Ha≠HaH\neq H,Ha\neq H ，所以 aH=G−H=HaaH=G-H=Ha；

# 唯一阶正规子群

名字乱起的，只为了好记

若 HH 是 GG 的子群，则 ∀a∈G\forall a\in G ，有 aHa−1aHa^{-1} 也是 GG 的子群，且 ∣H∣=∣aHa−1∣|H|=|aHa^{-1}|；

如果群 GG 的子群 HH 不与 GG 的任意其他子群等势，则 HH 是 GG 的正规子群.

证明

∀h1,h2∈H,ah1a−1,ah2a−1∈aHa−1ah1a−1(ah2a−1)−1=a(h1h2−1)a−1H≤G⇒h1h2−1∈H⇒ah1a−1(ah2a−1)−1=a(h1h2−1)a−1∈aHa−1\forall h_1,h_2\in H,\ \ \ ah_1a^{-1},ah_2a^{-1}\in aHa^{-1}\\ ah_1a^{-1}(ah_2a^{-1})^{-1}=a(h_1h_2^{-1})a^{-1}\\ H\leq G\rArr h_1h_2^{-1}\in H\\ \rArr ah_1a^{-1}(ah_2a^{-1})^{-1}=a(h_1h_2^{-1})a^{-1}\in aHa^{-1}

可知 aHa−1aHa^{-1} 也是 GG 的子群。定义映射：

φ:H→aHa−1,φ(h)=aha−1\varphi:H\to aHa^{-1},\varphi(h)=aha^{-1}

显然容易证明 φ\varphi 是双函数，所以 ∣H∣=∣aHa−1∣|H|=|aHa^{-1}|。

# 正规子群的指标

设 GG 是群，HH 是 GG 的正规子群，且 [G:H]=m[G:H]=m ，对任意 g∈Gg\in G ，有 gm∈Hg^m\in H。

证明：

∀g∈G,gm∈H⇔∀g∈G,∃h∈H,gm=h\forall g\in G,\ \ g^{m}\in H\lrArr \forall g\in G,\exist h\in H,\ \ g^{m}=h

而

gm=hg∣G∣∣H∣=hg∣G∣=h∣H∣e=e\begin{aligned} g^{m}&=h\\ g^{\frac{|G|}{|H|}}&=h\\ g^{|G|}&=h^{|H|}\\ e&=e \end{aligned}

# 商群

# 定义

对群 GG 的正规子群 NN ，不必区分左陪集 aNaN 和右陪集 NaNa ，直接称 aNaN 或 NaNa 为陪集。

用 G/NG/N 表示它的所有陪集组成的集合，即 G/N={Na∣a∈G}G/N=\{Na|a\in G\} ，可在 G/NG/N 上定义运算 ∘∘ 使得 G/NG/N 也构成群：

∀Na,Nb,Na∘Nb=Nab∀Na,Nb,\ \ Na∘Nb=Nab

由于运算 ∘∘ 是根据陪集的代表（例如陪集 NaNa 的代表是 aa ）定义的，因此也要验证运算∘的定义是合适的，即：

若 Na=Na′,Nb=Nb′Na=Na', Nb=Nb' 时，需要有 Nab=Na′b′Nab = Na'b'：

Na′b′=(Na′)b′=(Na)b′=(aN)b′=a(Nb′)=a(Nb)=(aN)b=NabNa'b'=(Na')b'=(Na)b'=(aN)b'=a(Nb')=a(Nb)=(aN)b=Nab

证明运算 ∘∘ 使得 G/NG/N 也构成群：

满足结合律；对任意的 a,b,c∈Ga,b,c\in G ，有：

(Ha∘Hb)∘Hc=(Hab)∘Hc=H(ab)c=Ha(bc)=Ha∘Hbc=Ha∘(Hb∘Hc)\begin{aligned} (Ha\circ Hb)\circ Hc &=(Hab)\circ Hc\\ &=H(ab)c\\ &=Ha(bc)\\ &=Ha\circ Hbc\\ &=Ha\circ(Hb\circ Hc) \end{aligned}

单位元是 He=HHe=H ；对 ∀a∈G\forall a\in G ，有：

H∘Ha=He∘Ha=H∘Ha=Ha∘He=H(ae)=HaH\circ Ha=He\circ Ha=H\circ Ha=Ha\circ He=H(ae)=Ha

G/HG/H 的每个元素 HaHa 都有逆元 Ha−1∈GHa^{-1}\in G ；对任意的 Ha∈G/HHa\in G/H ，有 Ha−1∈G/HHa^{-1}\in G/H ，且：

Ha−1∘Ha=H(a−1a)=He=H(aa−1)=Ha∘Ha−1Ha^{-1}\circ Ha=H(a^{-1}a)=He=H(aa^{-1})=Ha\circ Ha^{-1}

设 GG 为群，HH 是 GG 的正规子群。HH 的所有陪集 G/HG/H 关于上述运算 ∘∘ 构成的群称为群 GG 关于（正规 / 不变）子群 HH 的商群 (quotient group)，仍记作 G/HG/H 。

商群就是群依据某个正规子群得到的划分

# 商群元素的阶

设 GG 是交换群，HH 是 GG 的所有阶数有限的元素构成的集合，则 HH 是 GG 的正规子群，且商群 G/HG/H 只有单位元的阶数是有限的。

证明

由于 GG 是交换群，因此只要证明：

所有阶数有限的元素构成的集合 H={a∣∃k∈Z+,ak=e}H=\{a|\exist k\in \mathbb{Z}^+,\ a^k = e\} ，这里 ee 是 GG 的单位元，只要证明 HH 是 GG 的子群即可。

对任意 a,b∈Ha,b\in H ，存在 i,j∈Z+i,j\in \mathbb{Z}^+ ，使得 ai=e,bj=ea^i=e,\ b^j=e ，从而

(ab−1)ij=aij(b−1)ij=(ai)j(bj)−i=eje−i=e(ab^{-1})^{ij}=a^{ij}(b^{-1})^{ij}=(a^{i})^{j}(b^{j})^{-i}=e^{j}e^{-i}=e

因此 ab−1ab^{-1} 也是有限阶元，即 ab−1∈Hab^{-1}\in H ，根据子群判定定理有 HH 是 GG 的子群。

而对 ∀h∈H,∀g∈G\forall h\in H,\forall g\in G ，易知 ∣ghg−1∣=∣h∣|ghg^{-1}|=|h| ，所以 ghg−1∈Hghg^{-1}\in H ，所以 HH 是 GG 的正规子群。

要证明 G/HG/H 只有单位元的阶数有限，只要证明它的任意元素，如果阶数有限，则这个元素就是单位元。

对于任意陪集 xH∈G/HxH\in G/H ，如果它是有限阶的，即存在正整数 kk 使得 (xH)k=xkH=H(xH)^{k}=x^{k}H=H ，从而 xk∈Hx^{k}\in H ，即 xkx^{k} 是有限阶的，从而存在正整数 jj 使得 (xk)j=xkj=e(x^{k})^{j}=x^{kj}=e ，这意味着 xx 也是有限阶的，即 x∈Hx\in H ，从而 xH=HxH=H 是单位元，因此在商群 G/HG/H 中，只有单位元 HH 是有限阶的。

# 商群保持循环群

设 HH 是循环群 GG 的正规子群，则其商群 G/HG/H 也是循环群。

显然若 aa 是 HH 的生成元，则 aHaH 也是 G/HG/H 的生成元

# 有限交换群性质

GG 是 nn 阶有限交换群，则对 nn 的任意素因子 pp ，GG 必有 pp 阶元。

证明：对 nn 使用数学归纳法。

（归纳基）显然当 n=2n=2 时，任意 2 阶群都有 2 阶元。

显然 2 阶群 {e,a}\{e,a\} 一定满足 a2=aa−1=ea^2=aa^{-1}=e，因为唯一的非单位元的逆一定是它自己。

（归纳步）对于 n=k+1n=k+1 ，假设对于任意 2,3,⋯,k2,3,\cdots,k 阶有限交换群，对于群的阶的任意素因子 pp 都有 pp 阶元，考虑 k+1k+1 阶有限交换群 GG ，考虑 pp 是 k+1k+1 的任意素因子。

为应用归纳假设，需要考虑阶数比 k+1k+1 阶小的有限交换群 G′G'，而且 G′G' 与 GG 有许多相似的性质，这样就需要利用商群的构造：即找到正规子群 HH ；

由于 GG 是交换群，所以子群 HH 就是正规子群，使得 G′=G/HG'=G/H ，G/HG/H 的阶是 GG 的阶除以 HH 的阶，只要 HH 不是只有单位元，那么 G/HG/H 的阶比 GG 的阶小。

对于 GG 的阶 k+1k+1 的素因子 pp：

（1）如果 pp 是 ∣a∣|a| 的因子，则：

∃s∈Z+,∣a∣=sp∣as∣=∣a∣gcd⁡(∣a∣,s)=∣a∣s=p\exist s\in\mathbb{Z}^+,\ \ |a|=sp\\ |a^s|=\frac{|a|}{\gcd(|a|,s)}=\frac{|a|}{s}=p

所以 asa^s 就是 pp 阶元。

（2）如果 pp 不是 ∣a∣|a| 的因子，则：

令 H=<a>H=<a> 为 aa 的输出子群，∣H∣=∣a∣|H|=|a|，则因为 GG 是交换群，所以 HH 是正规子群。

商群 G/HG/H 仍是交换群，且：∣G/H∣=k+1∣a∣<k+1|G/H|=\frac{k+1}{|a|}\lt k+1；

pp 是 k+1=k+1∣a∣∣a∣k+1=\frac{k+1}{|a|}|a| 的素因子，且 pp 不是 ∣a∣|a| 的因子，由数论知识得到 pp 就是 k+1∣a∣\frac{k+1}{|a|} 的因子；

所以由归纳假设， ∃bH∈G/H,∣bH∣=p\exist bH\in G/H,\ \ |bH|=p ；所以 (bH)p=bpH=H(bH)^p=b^pH=H ，所以 bp∈Hb^p\in H ；且 ∣H∣=∣a∣|H|=|a| ，所以 (bp)∣a∣=(b∣a∣)p=e(b^{p})^{|a|}=(b^{|a|})^p=e ；

另一方面，由于 pp 不是 ∣a∣|a| 的因子，所以由 ∣bH∣=p|bH|=p 可得 b∣a∣H=(bH)∣a∣≠Hb^{|a|}H=(bH)^{|a|}\neq H；所以 b∣a∣∉Hb^{|a|}\notin H ，所以 b∣a∣≠eb^{|a|}\neq e ；

所以 b∣a∣b^{|a|} 就是 pp 阶元