# 置换群的定义

设 $S=\{1,2,\cdots,n\}$ ； S 上的任意双函数 $\sigma:S\to S$ 称为 S 上的一个 n 元置换 (permutation)，记为：

$$\sigma= \begin{pmatrix} 1 & 2 & \cdots & n \\ \sigma(1) & \sigma(2) & \cdots & \sigma(n) \end{pmatrix} \quad$$

# 置换群的构成

# 置换乘法

设 $\sigma,\tau$ 都是 S 上的 n 元置换，则 $\sigma,\tau$ 作为函数的复合 $\sigma\circ\tau$ 和 $\tau\circ\sigma$ 也是 n 元置换，称为 $\sigma,\tau$ 的乘积，记为 $\sigma\tau$ 和 $\tau\sigma$

• $στ(i)=σ(τ(i))$；
• $τσ(i)=τ(σ(i))$；

# 恒等置换

记为 e ，为 S 上的恒等函数。显然它是置换乘法的单位元。

# 逆置换

对于某个置换 $\sigma$：

$$\sigma= \begin{pmatrix} 1 & 2 & \cdots & n \\ \sigma(1) & \sigma(2) & \cdots & \sigma(n) \end{pmatrix} \quad$$

$\sigma$​ 关于 (置换) 乘法的逆置换是：

$$\sigma= \begin{pmatrix} \sigma(1) & \sigma(2) & \cdots & \sigma(n)\\ 1 & 2 & \cdots & n \end{pmatrix} \quad$$

# 对称群

$S$ 上的所有 n 元置换关于置换乘法构成群，这个群称 n 元对称群（symmetric group），并记为 $S_n$ , $S_n$ 的任意子群都称作 n 元置换群（permutation group）。

# 轮换

若 S 上的 n 元置换 $\sigma$ 满足：

$$\sigma(i_1)=i_2,\ \ \ \sigma(i_2)=i_3,\ \cdots\ ,\ \sigma(i_{k-1})=i_k,\ \ \ \sigma(i_k)=i_1$$

其中 $i_j\in S,\ \ \ j=1,\cdots,k$ ；且满足其他元素不变，则称 $\sigma$ 为 S 上的 k 阶轮换（cycle），记为：

$$\sigma=(i_1\ i_2\ \cdots\ i_k)$$

特别地有：

• 2 阶轮换也叫做对换
• 1 阶轮换 $(1)$ 就是恒等置换

$\sigma=(i_1\ i_2\ \cdots\ i_r)$ 和 $\tau=(j_1\ j_2\ \cdots\ j_s)$ 是两个轮换，如果对任意的 $k=1,2,\cdots,r$ 及任意的 $l=1,2,\cdots,s$ 都有 $i_k\neq j_l$ ，称 $\sigma$ 和 $\tau$ 是两个不相交的轮换， $\sigma$ 和 $\tau$ 不相交

# 轮换性质 1

设 $σ\in S_n$ 是 n 阶置换，证明：$σ(i_1\ i_2\ \cdots\ i_k)σ^{-1}= (σ(i_1)\ σ(i_2 )\ \cdots\ σ(i_k ))$

# 轮换性质 2

不相交轮换的可交换性

任意两个不相交轮换的乘积可交换，即若 σ 和 τ 是两个不相交的轮换，则 $στ=τσ$

# 轮换性质 3

置换的轮换表示

每个置换都可表示为一些不相交轮换的乘积

# 置换的对换表示

任意置换都可表示成对换的乘积，因为任意轮换都可表示成对换的乘积

设 $\sigma=(i_1\ i_2\ \cdots\ i_k)$ 是 $S=\{1,2,\cdots,n\}$ 上的 k 阶轮换，则：

$$\sigma=(i_1\ i_2)(i_2\ i_3)\cdots(i_{k-1}\ i_k)$$

# 奇偶性

一个置换表为对换的乘积，所用的对换个数的奇偶性是惟一的。

• 可表示成偶数个对换的乘积的置换称为偶置换 (even permutation)

• 可表示成奇数个对换的乘积的置换称为奇置换 (odd permutation)

• 任何两个偶置换的积是偶置换；

• 两个奇置换的积是偶置换；

• 一个偶置换与一个奇置换的积是奇置换；

• 一个偶置换的逆置换仍然是偶置换；

• 一个奇置换的逆仍然是奇置换；

当 $n>1$ 时，在全体 n 元置换中，奇置换与偶置换各有 $\frac{n!}{2}$ 个

# 交错群

在 n 元对称群 S_n 中，全体偶置换构成 S_n 的子群称这个子群称为 n 元交错群 (alternative group)。

$S_3$ 中的偶置换包括 $(1)$（表示成 0 个对换的乘积）、$(1\ 2\ 3)=(1\ 2)(2\ 3)$ 和 $(1\ 3\ 2)=(1\ 3)(3\ 2)$ ，这些偶置换构成了 3 元交错群 $A_3 = \{(1), (1\ 2\ 3), (1\ 3\ 2)\} = \{f_1, f_5, f_6 \}$。