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# 素理想

非交换环上也可以定义素理想、极大理想，但这里只考虑交换环上的素理想和极大理想！

# 定义

设 RR 是交换环，PP 是 RR 的真理想。若对任意 a,b∈Ra,b\in R，ab∈Pab\in P 蕴涵 a∈Pa\in P 或 b∈Pb\in P ，则称 PP 为 RR 的素理想 (prime ideal)。

素理想的概念 b 本质上来自数论中的基本结论：若 pp 为素数，则 p|ab\Rightarrow p|a\or p|b。

# 整数环的素理想

设 nn 是正整数，⟨n⟩\langle n\rangle 是整数环 Z\mathbb Z 的素理想当且仅当 nn 是素数。

零理想 I={0}I=\{0\} 是整数环 Z\mathbb Z 的素理想，但是 Z\mathbb Z 不是素理想，因为素理想要求是真理想！

# 素理想的充要条件

设 RR 是有单位元 e≠0e≠0 的交换环，II 是 RR 的理想，则 II 是 RR 的素理想当且仅当 R/IR/I 是整环。

# 极大理想

# 定义

设 RR 是交换环，MM 是 RR 的真理想。若对 RR 的任意包含 MM 的理想 NN ，必有 N=MN=M 或 N=RN=R，则称 MM 是 RR 的极大理想 (maximal ideal)。

极大理想就是没有真包含它的非平凡理想

# 极大理想的证明

证明 II 是 RR 的极大理想的思路：（RR 是有单位元 ee 的交换环）

假设 JJ 是理想且 I⊂JI\sub J，...... 得到 e∈Je\in J，所以 J=RJ=R，所以 II 是 RR 的极大理想。

# 整数环的极大理想

设 pp 是正整数，⟨p⟩\langle p\rangle 是整数环 Z\mathbb Z 的极大理想当且仅当 pp 是素数，和素理想一致！

# 极大理想的充要条件

设 RR 是有单位元 ee 的交换环，II 是 RR 的理想，则：II 是 RR 的极大理想当且仅当 R/IR/I 是域。

  • 在交换环 RR 中，II 是 RR 的素理想当且仅当在 R/IR/I 中 aˉbˉ=0ˉ\bar{a}\bar{b}=\bar0 蕴涵 aˉ=0ˉ\bar a=\bar 0 或 bˉ=0ˉ\bar b=\bar 0，当且仅当 R/IR/I 的每个元素不是零因子
  • 在有单位元交换环 RR 中，II 是 RR 的极大理想当且仅当每个真包含 II 的理想都包含 RR 的单位元（从而就包含 RR 的所有元素）

# 推论

设 RR 是有单位元的交换环，由于域都是整环，因此 RR 的每个极大理想都是 RR 的素理想。

  • 如果没有单位元，则极大理想不一定是素理想
    • 例如对于 R=2ZR=2\mathbb Z，I=4ZI=4\mathbb Z，II 是 RR 的极大理想，但 II 不是 RR 的素理想
  • 一个素理想（即使是非零素理想）也不一定是极大理想

# 多项式环的极大理想

证明 Zm[x]\mathbb Z_m[x] 的理想 ⟨ax2+bx+c⟩\langle ax^2+bx+c\rangle （这里以二阶多项式为例）是极大理想思路：

考察商环 Zm[x]/⟨ax2+bx+c⟩\mathbb Z_m[x]/\langle ax^2+bx+c\rangle 是否是域，可以看其所有非零元素是否构成循环群，若构成循环群，则每个非零元素都可逆，则商环是域。

# 高斯整环的极大理想

以下结论包括了高斯整环中的所有极大理想：

  • 高斯整环 Z[i]\mathbb Z[i] 的主理想 ⟨a+bi⟩\langle a+bi\rangle 是极大理想当且仅当 a2+b2a^2+b^2 是素数，且高斯整环 Z[i]\mathbb Z[i] 关于极大理想 ⟨a+bi⟩\langle a+bi\rangle 的商环 Z[i]/⟨a+bi⟩\mathbb Z[i]/\langle a+bi\rangle 和模 a2+b2a^2+b^2 剩余类环 Za2+b2\mathbb Z_{a^2+b^2} 同构。

a2+b2a^2+b^2 是素数，则一定有 a2+b2≡3mod4a^2+b^2\equiv3\bmod4

  • 高斯整环 Z[i]\mathbb Z[i] 的主理想 ⟨p⟩\langle p\rangle 是极大理想当且仅当 pp 是素数并且 p≡3mod4p\equiv3\bmod4，和整数环中一致。且高斯整环 Z[i]\mathbb Z[i] 关于极大理想 ⟨p⟩\langle p\rangle 的商环 Z[i]/⟨p⟩\mathbb Z[i]/\langle p\rangle 和模 p2p^2 剩余类环 Zp2\mathbb Z_{p^2} 同构。

  • 高斯整环中，⟨1+i⟩\langle1+i\rangle 和 ⟨1−i⟩\langle1-i\rangle 是极大理想。