Home 数学 离散数学 代数结构

# 环的相关定义

设 RR 是非空集合，如果在 RR 上定义了两个二元运算 “++”（称为加法）和 “ ⋅\cdot ”（称为乘法），且满足：

  • （1） RR 关于加法 ++ 构成交换群（即加群）
  • （2） RR 关于乘法 ⋅\cdot 构成半群，即乘法满足结合律：∀a,b,c∈R,a⋅(b⋅c)=(a⋅b)⋅c\forall a,b,c\in R,\ \ a\cdot(b\cdot c)=(a\cdot b)\cdot c；
  • （3） 乘法 ⋅\cdot 对加法有左右分配律：

∀a,b,c∈Ra⋅(b+c)=a⋅b+a⋅c(b+c)⋅a=b⋅a+c⋅a\forall a,b,c\in R\\ a\cdot(b+c)=a\cdot b+a\cdot c\\ (b+c)\cdot a=b\cdot a+c\cdot a

则称代数 (R,+,⋅)(R,+,\ \cdot\ ) 是环（ring）。在通过上下文能明确运算时，通常直接称 RR 为环。

有教材要求环乘法必须有单位元，也有教材要求环乘法必须满足交换律等

对环 (R,+,⋅)(R,+,\ \cdot\ ) ，(R,+)(R\ ,+) 是交换群，称为环 RR 的加法群，其单位元通常用 0 表示，称为环 RR 的零元，元素 aa 的加法逆元记为 −a-a ，称为 aa 的负元。

通过负元引入环的减法，即 a−ba-b 定义为 a+(−b)a+(-b)。

  • 环乘法是否满足交换律
    • 若环 RR 的乘法也满足交换律，则称为交换环 (commutative ring)
  • 是否有单位元
    • 若环 RR 的乘法有单位元，则称为有单位元环，环乘法的单位元通常记为 ee 或 11 ，并称为环 RR 的单位元
  • 环乘法当环 RR 有单位元 ee 时，考虑环的元素是否有逆元
    • 若对 a∈Ra\in R ，存在 b∈Rb\in R ，使得 ab=ba=eab=ba=e ，则称 aa 是可逆元，或称为环 RR 的单位 (unit)，并称 bb 是 aa 的逆元。当然这时 bb 也是可逆元，且 aa 是 bb 的逆元
    • 所有可逆元关于环乘法构成群，称为 RR 的单位群 (group of units)，记为 U(R)U(R)。
  • 环乘法是否有零因子
    • 对环 RR 的两个非零元素 a,ba,b ，若 a⋅b=0a\cdot b=0 ，则称 aa 是左零因子 (left zero-divisor)，b 是右零因子 (right zero-divisor)。左零因子和右零因子统称为零因子
    • 若环 RR 的所有非零元素都不是左零因子或右零因子，则称 RR 为无零因子环。

当集合 RR 只有一个元素 00 ，定义 RR 的加法运算和乘法运算：0+0=0,0⋅0=00+0=0,\ 0\cdot 0=0，则 ({0},+,⋅)(\{0\},+,\ \cdot\ ) 构成环，这个环称为零环。在这个环中，零元也是单位元，而零元也是可逆元。

零环过于简单，通常在对环进行讨论时都将零环排除在外。因此在提到环时，总是默认环至少有两个元素，这时零元不可能是单位元，也不可能是可逆元。

# 整环

  • 有单位元
  • 无零因子
  • (乘法) 可交换

的环称为整环 (integral domain)

证明一个环是整环：

\forall a,b\in R,\ \ ab=0\Rightarrow a=0\or b=0

# 除环

  • 有单位元
  • 至少有两个元素
  • 每个非零元都可逆 (乘法)
  • （无零因子，可逆元都不是零因子）

的环称为除环 (division ring)

# 域

交换除环称为域 (field) (比较常用)，也即需满足：

  • 有单位元
  • 至少有两个元素
  • 每个非零元都可逆 (乘法)
  • (乘法) 可交换
  • （无零因子，可逆元都不是零因子）

可逆元都不是零因子（为什么？），因此域都是整环！

非交换除环也称体 (skew field) (比较少用)

# 常用环

# 整数环及其子环

  • 整数集 Z\mathbb Z 关于普通加法 ++ 和普通乘法 ⋅\cdot 构成环，称为整数环

    • 整数环 Z\mathbb Z 是交换环，(乘法) 零元是 0，单位元是 1

    • 只有 1 和 -1 是可逆元，因此整数环的单位群是 ({1,−1},⋅)(\{1, -1\},\ \cdot\ )；

    • 整数环的每个非零整数都不是零因子，因此整数环是整环

  • 固定整数 dd ，集合 dZ={kd∣k∈Z}d\mathbb Z=\{kd|k\in \mathbb Z\} 关于普通加法 ++ 和普通乘法 ⋅\cdot 也构成交换环

    • 当 d≠1d≠1 时，环 dZd\mathbb Z 没有单位元。显然环 dZd\mathbb Z 也是无零因子环

    • 具体来说，所有偶数构成的集合 2Z2\mathbb Z 关于普通加法和普通乘法构成无单位元、无零因子的交换环。

# 模 m 剩余类环及其子环

固定整数 m≥2m≥2 ，模 mm 剩余类 Zm={0‾,1‾,⋯,m−1‾}\mathbb Z_m=\{\overline{0},\overline{1},\cdots,\overline{m-1}\} 关于模 mm 加 ⊕m⊕_m 和模 mm 乘 ⊗m⊗_m 构成环，称为模 mm 剩余类环 (residue class ring)

  • 0‾\overline 0 表示整除 mm 余 0 的所有整数构成的集合，Zm\mathbb Z_m 的元素是集合

  • 模 mm 剩余类环 Z\mathbb Z 是有单位元交换环，零元是 0，有单位元 1

  • 对于 a∈Zma\in \mathbb Z_m ，如果 aa 与 mm 互质，则 aa 关于模 mm 乘有逆元，因此单位群是 U(m)U(m) 群

  • 当 mm 是质数 pp 时，Zp={0}∪U(p)\mathbb Z_p=\{0\}\cup U(p) ，关于 ⊕p⊕_p 和 ⊗p⊗_p 构成有单位元、每个非零元都可逆的交换环，也即这时 Zp\mathbb Z_p 是域

  • 当 mm 不是质数时，若 m=kd(2≤k≤m,2≤k≤m)m=kd(2≤k≤m,2≤k≤m) ，则 kk 和 dd 都是模 mm 剩余类环的零因子，这时就不是无零因子环，当然也不是整环

# 有理数域

有理数集 QQ 关于普通加法 ++ 和普通乘法 ⋅\cdot 构成环

  • 有单位元 1，是交换环，而且每个非零有理数 rr 都有逆 1/r1/r；

  • 单位群是所有非零有理数集 Q∗\mathbb Q^* 关于普通乘法构成的群 (Q∗,⋅)(\mathbb Q^*,\ \cdot\ )

  • 因此通常直接称有理数集 Q\mathbb Q 为有理数域

实数集 R\mathbb R 和复数集 C\mathbb C 关于普通加法 ++ 和普通乘法 ⋅\cdot 也都构成域，分别称为实数域 R\mathbb R 和复数域 C\mathbb C：

  • 单位群分别是所有非零实数集 R∗\mathbb R^* 和非零复数集 C∗\mathbb C^* 关于普通乘法构成的群

  • 复数域 C\mathbb C 的零元是实数 0，单位元是实数 1，而复数乘法的逆为：(a+bi)−1=a−bia2+b2(a+bi)^{-1}=\frac{a-bi}{a^2+b^2}。

# 高斯整环

高斯整环

# 类高斯整环

看起来和高斯整环很像，我乱起的名字，不是很重要

类高斯整环1

类高斯整环2

# 全矩阵环

全矩阵环

# 多项式环

多项式环1多项式环2

例子

多项式环举例

# 理想

# 定义

设 RR 是环，II 是 RR 的非空子集。若 I 满足：

  1. ∀r1,r2∈I\forall r_1,r_2\in I，有 r1−r2∈Ir_1-r_2\in I；
  2. ∀r∈I,∀s∈R,rs,sr∈I\forall r\in I,\ \forall s\in R,\ \ rs,sr\in I；

则称 II 为环 RR 的理想 (ideal)，记为 I⊲RI⊲R，若 II 是 RR 的真子集，则称 II 是 RR 的真理想 (proper ideal)。

理想是子环：显然如果 II 是 RR 的理想，则 II 必定是 RR 的子环；

⚠️ 当然子环不一定是理想 ⚠️

RR 的单个零元构成的集合 {0}\{0\}（称为零理想）和 RR 本身都是 RR 的理想，这两个理想称为 RR 的平凡理想。因此 RR 的非平凡理想就是非零真理想

# 常用理想

整数环 ZZ 的所有理想是 dZ={dz∣z∈Z},d=0,1,⋯dZ=\{dz|z\in Z\},\ d=0,1,\cdots；

模 mm 剩余类环 ZmZ_m 的所有理想是 dZm={dz∣z∈Zm},d=0,1,⋯,m−1dZ_m=\{dz|z\in Z_m\},\ d=0, 1, \cdots, m-1；

证明

理想是子环，而 ZZ 的每个子环都具有形式 dZdZ ，而且对任意子环 dZdZ ，对任意 dz∈dZdz\in dZ ，以及 s∈Zs\in Z ，显然有 dzs,sdz∈dZdzs, sdz\in dZ ，因此每个子环 dZdZ 都是 ZZ 的理想

类似可得到模 mm 剩余类环 ZmZ_m 的所有理想是 dZm,d=0,1,⋯,m−1dZ_m, d=0, 1, \cdots, m-1。

# 运算

# 和

设 RR 是环，I,JI,J 都是 RR 的理想，I+JI+J 称为理想 II 和 JJ 的和：

I+J={a+b∈R∣a∈I,b∈J}I+J=\{a+b\in R|a\in I, b\in J\}

# 交

I∩JI\cap J 称为 II 和 JJ 的交：

I∩J={x∈R∣x∈I,x∈J}I\cap J=\{x\in R|x\in I,x\in J\}

# 积

IJIJ 称为理想 II 和 JJ 的积：

IJ={a1b1+a2b2+⋯+anbn∣n∈N∗,ak∈I,bk∈J}IJ=\{a_1b_1+a_2b_2+\cdots+a_nb_n|n\in\mathbb N^*,a_k\in I,b_k\in J\}

# 和交积保持理想

若 II 和 JJ 都是环 RR 的理想，则 I+JI+J ， I∩JI\cap J ，IJIJ 也是环 RR 的理想

环的任意有限多个理想的和仍是理想，而任意有限或无限多个理想的交仍是理想

# 主理想

# 定义

设 RR 是环，aa 是 RR 的元素，记所有包含 aa 的理想构成的集合为：

∑={I⊲R∣a∈I}\sum=\{I\lhd R|a\in I\}

至少有 R∈∑R\in\sum ，所以 ∑\sum 非空。令：

⟨a⟩=⋂I∈∑I\langle a\rangle=\bigcap_{I\in\sum}I

则 ⟨a⟩\langle a\rangle 是理想，而且是包含 aa 的最小理想。这个理想称由 aa 生成的主理想（principal ideal），aa 为其生成元。

# 定理结论

环 RR 的由 aa 生成的主理想满足：

⟨a⟩={(∑i=1nxiayi)+xa+ay+ma∣xi,yi,x,y∈R,n∈Z+,m∈Z}\langle a\rangle=\big\{ \big(\sum_{i=1}^{n}x_iay_i\big) +xa+ay+ma\big|x_i,y_i,x,y\in R,n\in\mathbb Z^+,m\in\mathbb Z \big\}

若 RR 有单位元，则：

\langle a\rangle=\big\{ \big(\sum_{i=1}^{n}x_iay_i\big) \big|x_i,y_i\in R \big\}\

若 RR 是交换环，则：

⟨a⟩={xa+ma∣x∈R,m∈Z}\langle a\rangle=\big\{ xa+ma\big|x\in R,m\in\mathbb Z \big\}

⭐️若 RR 是有单位元的交换环，则：

⟨a⟩=aR={ar∣r∈R}\langle a\rangle=aR=\big\{ ar\big|r\in R \big\}

# 常用理想的主理想

  • 整数环 Z\mathbb Z 的每个理想 dZd\mathbb Z 都是主理想，即是 ⟨d⟩\langle d\rangle ；
  • 模 mm 剩余类环 Zm\mathbb Z_m 的每个理想 dZmd\mathbb Z_m 也都是主理想，即也是 ⟨d⟩\langle d\rangle ；

设 RR 是环，a1,a2,⋯,an∈Ra_1,a_2,\cdots,a_n\in R，则：

⟨a1,a2,⋯,an⟩=⟨a1⟩+⟨a2⟩+⋯+⟨an⟩\langle a_1,a_2,\cdots,a_n\rangle=\langle a_1\rangle+\langle a_2\rangle+\cdots+\langle a_n\rangle

也是 RR 的理想，并且是包含 a1,a2,⋯,ana_1,a_2,\cdots,a_n 的最小理想！称为由 a1,a2,⋯,ana_1,a_2,\cdots,a_n 生成的理想。

整数环 Z\mathbb Z 由 a1,a2a_1,a_2 生成的理想是⟨gcd⁡(a1,a2)⟩\langle\gcd(a_1,a_2)\rangle；

# 商环

环关于理想的商环

# 定义

设 RR 是环，II 是 (R,+,⋅)(R,+,\ \cdot\ ) 的一个理想，则 (I,+)(I,+) 是 (R,+)(R,+) 的正规子群，它所有（关于加群）的陪集构成集合 R/I＝{x+I∣x∈R}R/I＝\{x+I|x\in R\} 、记陪集 x+Ix+I 为 x‾\overline x 。

# 运算的定义

# 加法

在集合 R/IR/I 上可定义加法 ++：

∀x‾,y‾∈R/I,x‾+y‾=x+y‾⟺(x+I)+(y+I)=(x+y)+I\forall \overline x,\overline y\in R/I,\\ \overline{x}+\overline{y}=\overline{x+y}\Longleftrightarrow (x+I)+(y+I)=(x+y)+I

这里 x‾+y‾\overline{x}+\overline{y} 中的 ++ 是要定义的加法，即后面所说商环中的加法，而 x+y‾\overline{x+y} 中的 ++ 是环 RR 中的加法。

根据正规子群的性质，该定义是合适的。

# 乘法

在集合 R/IR/I 上可定义乘法 ×\times：

∀x‾,y‾∈R/I,x‾⋅y‾=x⋅y‾⟺(x+I)⋅(y+I)=(x⋅y)+I\forall \overline x,\overline y\in R/I,\\ \overline{x}\cdot\overline{y}=\overline{x\cdot y}\Longleftrightarrow (x+I)\cdot(y+I)=(x\cdot y)+I

这里 x‾⋅y‾\overline{x}\cdot\overline{y} 中的 $\cdot $ 是要定义的乘法，即后面所说商环中的乘法，而 x⋅y‾\overline{x\cdot y} 中的 $\cdot $ 是环 RR 中的乘法。

由于这定义在等价类（陪集）上，因此需要证明该定义是合适的，即与选择的代表无关，即：

x1‾=x2‾∧y1‾=y2‾⇓x1⋅y1‾=x2⋅y2‾\overline{x_1}=\overline{x_2}\ \land\overline{y_1}=\overline{y_2}\\ \Downarrow\\ \overline{x_1\cdot y_1}=\overline{x_2\cdot y_2}

商环乘法合适定义证明

# 构成环

商环构成环证明1

商环构成环证明2

# 商环定义

设 RR 是环，II 是理想，则环的加群关于理想的商群 R/IR/I 也构成环（基于上面定义的加法和乘法），称为环 RR 关于理想 II 的商环（quotient ring），仍记为 R/IR/I 。

R/I={x+I∣x∈R}R/I=\{x+I|x\in R\}

基本性质：

  • a‾=a+I\overline{a}=a+I；
  • 商环的（加法）零元：0‾=0+I\overline{0}=0+I；
  • 商环的（加法）单位元：e‾=e+I\overline{e}=e+I；

# 环同态

环的同态就是与环的加法与乘法都可交换的函数

设 (R,+,⋅)(R,+,\cdot) 和 (R′,⊕,⊗)(R',\oplus,\otimes) 是环，φ:R→R′\varphi:R\to R' 是 RR 到 R′R' 的函数，若对 ∀a,b∈R\forall a,b\in R 有：

φ(a+b)=φ(a)⊕φ(b)φ(a⋅b)=φ(a)⊗φ(b)\varphi(a+b)=\varphi(a)\oplus\varphi(b)\\ \varphi(a\cdot b)=\varphi(a)\otimes\varphi(b)

则称 φ\varphi 是 RR 到 R′R' 的同态。

  • φ\varphi 是单函数，则称为单同态
  • φ\varphi 是满函数，则称为满同态
  • φ\varphi 是双函数，则称为同构，记为：R≅R′R\cong R'。

设 RR 和 R′R' 是两个环，定义函数 φ:R→R′φ:R→R^′：∀a∈R,φ(a)=0∀a\in R,φ(a)= 0，这里 0 是 R′R' 的零元，则容易验证 φφ 是同态，这个同态称为零同态 (zero homomorphism)

设 RR 是环，II 是 RR 的理想，则很自然地有同态 ρ:R→R/Iρ:R→R/I ，∀a∈R,ρ(a)=a‾∀a\in R,ρ(a)=\overline a，这里 a‾\overline a 是 aa 所在的等价类，即 a+Ia+I 。这个同态称为商环 R/IR/I 的自然同态 (natural morphism)

零同态、自然同态都是满同态。

自然同态一个例子：

  • 整数环 Z\mathbb Z 到模 mm 剩余类环 Zm\mathbb Z_m 有很自然的满同态 φ:Z→Zmφ:\mathbb Z→\mathbb Z_m，∀z∈Z,φ(z)=zmodm∀z\in \mathbb Z, φ(z)=z\bmod m

零同态全部映射到零元，单同态给出子代数，满同态给出商代数

环同态保持：

  • 加法单位元
  • 子环

不保持：

  • 理想

# Zm\mathbb{Z}_m 到Zn\mathbb{Z}_n 的同态

zm到zn的同态符号约定

φ:Zm→Zn\varphi:\mathbb{Z}_m\to\mathbb{Z}_n 是 Zm\mathbb{Z}_m 到 Zn\mathbb{Z}_n 的同态，当且仅当：

  • φ(1‾)=[a]\varphi(\overline1)=[a]；（环同态由该值决定）
  • φ(x‾)=x[a]\varphi(\overline{x})=x[a]；（乘法陪集）
  • m[a]=[0]m[a]=[0]；
  • [a]2=[a][a]^2=[a]；（[a][a] 是 Zm\mathbb{Z}_m 的幂等元）

# 环扩张

环的扩张定理，也称为挖补定理

环扩张定理

如图，RR 和 S′S' 是 2 个没有公共元素的环，存在 RR 到 S′S' 的单同态：

ψ:R→S′\psi:R\to S'

并且：ψ(R)=S\psi(R)=S。

那么 RR 可以扩张为 R′R' ，满足：

  • R′−R=S′−SR'-R=S'-S；
  • S′≅R′S'\cong R'；

设 RR 是一个没有单位元的环，则存在一个有单位元的环 R′R' ，使得 RR 是 R′R' 的子环。

# 特征

设 RR 是环。若存在最小正整数 nn 使得对所有 a∈Ra\in R 有 na=0na=0 ，则称 nn 为环 RR 的特征。如果不存在这样的正整数，则称 RR 的特征为 0。环 R 的特征记为 Char RR。

数域 Z,Q,R,C\mathbb Z, \mathbb Q, \mathbb R, \mathbb C 的特征都是 0，而模 mm 剩余类环 Zm\mathbb Z_m 的特征是 mm。

【定理】设 RR 是有单位元 ee 的环。若 ee 关于加法的阶为无穷大，则 Char R=0R=0，否则 Char R=∣e∣R=|e|，这里 ∣e∣|e| 在环的加群中的阶。

证明 若 ee 的加法的阶为无穷大，则不存在正整数 nn 使得 ne=0ne=0 ，从而 Char R=0R= 0，否则，若 ∣e∣=n|e|=n ，则 ne=0ne=0 ，从而对任意 a∈Ra\in R ，na=n(ea)=(ne)a=0na=n(ea)=(ne)a=0。

整环的特征是 0 或是一个素数，进而域的特征也只能是 0 或是素数。

根据 RR 的特征构造 Z\mathbb Z 到 RR 的同态

【定理】设 RR 是有单位元 ee 的环，定义函数 φ:Z→Rφ:\mathbb Z→R，∀n∈Z,φ(n)=ne∀n\in \mathbb Z, φ(n)=ne，则 φφ 是环 Z\mathbb Z 到 RR 的同态。

【推论】设 RR 是有单位元 ee 的环。

  1. 如果 RR 的特征为 n>0n>0，则 RR 包含一个与 Zn\mathbb Z_n 同构的子环；

  2. 如果 RR 的特征为 0 ，则 RR 包含一个与 Z\mathbb Z 同构的子环。

    • 所以特征为 0 的环一定是无穷环

⭐️每个有限域的阶必为素数的幂，即有限域的阶可表示为 pnp^n ( pp 是素数、nn 是正整数)，该有限域通常称为 Galois 域 (Galois Fields)，记为 GF(pn)GF(p^n)。

【推论】设 FF 是域。

1. 如果 FF 的特征为 0 ，则 FF 包含一个与有理数域同构的子域；

2. 如果 RR 的特征是素数 pp ，则 FF 包含一个与模 pp 剩余类环 Zp\mathbb Z_p 同构的子域。

# 素域

若域 FF 不包含任何真子域，则称 F 是素域 (prime field)。

特征为素数 pp 的交换环中：

(a±b)pn=apn+bpn(a\pm b)^{p^n}=a^{p^n}+b^{p^n}

证明思路

交换环中也有二项式定理，以此证明 (a±b)p=ap+bp(a\pm b)^{p}=a^{p}+b^{p} ，然后数学归纳法即可。