# 思维导图

# 二元运算

封闭性

# 定义

$$\begin{aligned}& f:S\times S\to S 是集合S的运算，\\& 则称集合S对运算f封闭 \end{aligned}$$

$$\begin{aligned}& T\subseteq S是S的子集，若\forall t_1,t_2\in T(f(t_1,t_2)\in T)，\\& 则称集合T对S的运算f封闭 \end{aligned}$$

# 经典例子

$$\begin{aligned}& 自然数集、整数集和实数集对加法、乘法运算封闭 \end{aligned}$$

$$\begin{aligned}& 自然数集和整数集对实数集的加法、乘法运算封闭 \end{aligned}$$

$$\begin{aligned}& 自然数集对整数集的加法、乘法运算封闭 \end{aligned}$$

$$\begin{aligned}& 自然数集对实数集和整数集的减法运算不封闭 \end{aligned}$$

$$\begin{aligned}& 自然数集、整数集和实数集对除法运算不封闭 \end{aligned}$$

$$\begin{aligned}& 关系复合\circ 是P(A\times B)\times P(C\times D)\to P(A\times D)的函数\\& 一般情况下\circ 不是某个集合的运算\\& 关系复合\circ 是运算\\ \Leftrightarrow & A=B=C=D\\ \Leftrightarrow & 关系复合\circ 是P(A\times A)\times P(A\times A)\to P(A\times A)的函数 \end{aligned}$$

$$\begin{aligned}& 函数族A^A关于关系复合运算\circ 封闭，A^A\subseteq P(A\times A) \end{aligned}$$

# 特殊元

# 左单位元

$$\begin{aligned}& e_l是运算\circ的左单位元\Leftrightarrow\forall x\in S, e_l\circ x=x \end{aligned}$$

# 右单位元

$$\begin{aligned}& e_r是运算\circ的右单位元\Leftrightarrow\forall x\in S, x\circ e_r=x \end{aligned}$$

# 单位元

(幺元)

$$\begin{aligned}& e是运算\circ的单位元\Leftrightarrow\forall x\in S, x\circ e=e\circ x=x \end{aligned}$$

• 左逆元
  （左逆）

$$\begin{aligned}& y_l 是x(关于运算\circ)的左逆元\\\Leftrightarrow& y_l\circ x=e\\\Leftrightarrow& x左可逆 \end{aligned}$$

• 右逆元
  （右逆）

$$\begin{aligned}& y_r 是x(关于运算\circ)的右逆元\\\Leftrightarrow& x\circ y_r=e\\\Leftrightarrow&x右可逆 \end{aligned}$$

• 逆元
  （逆）

$$\begin{aligned}& y是x(关于运算\circ)的逆元\\\Leftrightarrow& y既是x的左逆又是x的右逆\\\Leftrightarrow& x可逆 \end{aligned}$$

• 性质

  • 单位元若存在一定是唯一的
  • 若满足结合律，且单位元存在，则可逆元素有唯一逆元

# 左零元

$$\begin{aligned}& \theta_l 是运算\circ的左单位元\Leftrightarrow\forall x\in S, \theta_l \circ x=\theta_l \end{aligned}$$

# 左零元

$$\begin{aligned}& \theta_r 是运算\circ的左单位元\Leftrightarrow\forall x\in S, x\circ\theta_r =\theta_r \end{aligned}$$

# 零元

$$\begin{aligned}& \theta 是运算\circ的左单位元\Leftrightarrow\forall x\in S, x\circ\theta=\theta\circ x =\theta \end{aligned}$$

# 幂等元

$$\begin{aligned}& x\circ x=x \end{aligned}$$

# 二元运算性质

# 交换律

• 描述

$$\begin{aligned}& 运算\circ 在S上是可交换的，或满足交换律的 \end{aligned}$$

• 定义

$$\begin{aligned}& \forall x,y\in S,\ \ \ x\circ y=y\circ x \end{aligned}$$

# 结合律

• 描述

$$\begin{aligned}& 运算\circ 在S上是可结合的，或满足结合律的 \end{aligned}$$

• 定义

$$\begin{aligned}& \forall x,y,z\in S,\ \ \ (x\circ y)\circ z=x\circ (y\circ x) \end{aligned}$$

• 满足结合律的运算的指数运算 (幂运算)

  • 定义

$$\begin{aligned}& x^n=x\circ x\circ...\circ x \end{aligned}$$

$$\begin{aligned} x^n=\left\{\begin{aligned} &x\\ &x^{n-1}\circ x \end{aligned}\right. && \begin{aligned} &n=1\\ &n\gt 1 \end{aligned} \end{aligned}$$

• 性质

$$\begin{aligned}& x^nx^m=x^{n+m} \end{aligned}$$

$$\begin{aligned}& (x^n)x^m=x^{nm} \end{aligned}$$

# 幂等律

• 定义

$$\begin{aligned}& S的运算\circ 满足幂等律\\\Leftrightarrow& \forall x\in S, x\circ x=x\\\Leftrightarrow& S的所有元素都是幂等元 \end{aligned}$$

# 分配律

• 描述

$$\begin{aligned}& 运算*对运算\circ 是可分配的，或满足分配律的 \end{aligned}$$

• 定义

$$\begin{aligned} \forall x,y,z\in S\ ,\ & x*(y\circ z)=(x*y)\circ(x*z)\\& (y\circ z)*x=(y*x)\circ(z*x) \end{aligned}$$

# 吸收律

• 描述

$$\begin{aligned}& 运算*对运算\circ 是可分配的，或满足分配律的 \end{aligned}$$

• 定义

$$\begin{aligned} \forall x,y\in S\ ,\ &x*(x\circ y)=x\\&x\circ(x*y)=x \end{aligned}$$

• 典例

$$\begin{aligned}& 逻辑与、或满足吸收律 \end{aligned}$$

$$\begin{aligned}& 集合交、并满足吸收律 \end{aligned}$$

# 消去律

• 定义

$$\begin{aligned}& \forall x,y,z\in S\ ,\ x不是零元\\& x\circ y=x\circ z\to y=z\\& y\circ x=z\circ x\to y=z \end{aligned}$$

• 典例

$$\begin{aligned}& 数集加法、乘法满足消去律 \end{aligned}$$

$$\begin{aligned}& 集合交、并不满足消去律 \end{aligned}$$

# 群

# 定义

• 一个群包含

$$\begin{aligned}& 一个二元运算\circ \end{aligned}$$

$$\begin{aligned}& \circ 满足结合律 \end{aligned}$$

$$\begin{aligned}& 一个零元运算即单位元e \end{aligned}$$

$$\begin{aligned}& e是\circ 的单位元 \end{aligned}$$

$$\begin{aligned}& 一个一元运算(-)^{-1} \end{aligned}$$

$$\begin{aligned}& (-)^{-1}给出每个元素关于\circ 的逆元 \end{aligned}$$

• 一个独异点包含

$$\begin{aligned}& 一个二元运算\circ \end{aligned}$$

$$\begin{aligned}& \circ 满足结合律 \end{aligned}$$

$$\begin{aligned}& 一个零元运算即单位元e \end{aligned}$$

$$\begin{aligned}& e是\circ 的单位元 \end{aligned}$$

• 一个半
  群包含

$$\begin{aligned}& 一个二元运算\circ \end{aligned}$$

$$\begin{aligned}& \circ 满足结合律 \end{aligned}$$

# 性质

• 群有唯一单位元，没有零元，且所有元素有唯一逆元
• 群的二元运算满足消去律

# 阿贝尔群

(可交换群)

$$运算满足交换律的群$$

# 群的阶

• 群的元素个数

# 群元素的阶

$$\begin{aligned}& 定义群元素a的n次幂：\\& \begin{aligned} a^n=\left\{\begin{aligned} &e\\ &a^{n-1}a\\ &(a^{-1})^{|n|} \end{aligned}\right. &&&& \begin{aligned} &n=0\\ &n\gt 0\\ &n\lt 0 \end{aligned} \end{aligned}\\& a的阶|a|是使a^k=e成立的最小正整数k，当k不存在时a是无限阶元 \end{aligned}$$

• 性质

$$\begin{aligned}& a^m=e\iff n|m,\ \ m\in \mathbb Z \end{aligned}$$

$$\begin{aligned}& (a^{-1})^k=(a^k)^{-1},\ k\in\mathbb N \end{aligned}$$

$$\begin{aligned}& |a^{-1}|=|a| \end{aligned}$$

$$\begin{aligned}& |a|=|a^m|gcd(|a|,m),\ \ m\in \mathbb Z \end{aligned}$$

# 模 m 单位群

# 定义

$$\begin{aligned}& \mathbb{Z}_m=\{0,1,2,...,m-1\}\\& U(m)是\mathbb{Z}_m中所有与m互质的数构成的集合：\\& U_m=\{a\in\mathbb{Z}_m|gcd(a,m)=1\}\\& 模m乘运算\otimes与U_m构成群 \end{aligned}$$

# 正规子群

or
不变子群

# 定义

$$\begin{aligned}& H是G的子群， \forall a\in G,\ Ha=aH \end{aligned}$$

# 平凡正规子群

$$G的单位元子群\{e\}$$

$$G本身$$

# 单群

$$\begin{aligned}& G的正规子群只有平凡正规子群，且G\neq \{e\} \end{aligned}$$

# 正规子群

经典例子

• 交换群

$$\begin{aligned}& A交换群每个元素左陪集等于右陪集\\& 故交换群每个子群都是正规子群 \end{aligned}$$

• 只有 2 个
  相异陪集

$$待补$$

# 商群

# 描述

$$G关于正规子群H的商群$$

# 定义

$$\begin{aligned}& N是G的正规子群，N的全体陪集构成集合G/N\\& 定义G/N上的运算\circ 为\forall a,b\in G,\ \ Na\circ Nb=Nab\\& 从而G/N关于运算\circ构成群,单位元为N \end{aligned}$$

# 群同态

# 描述

$$群G到G'的一个同态f是一个函数f:G\to G'$$

# 定义

$$\begin{aligned}& \forall a,b\in G,\ \ \ f(ab)=f(a)f(b) \end{aligned}$$

# 自同态

$$群G到自己的同态f:G\to G$$

# 满同态

$$f是满函数$$

# 单同态

$$f是单函数$$

# 同构

$$f是双函数$$

$$G\cong G'$$