# 函数

(全函数)

# 描述

$$\begin{aligned} &\text{集合A到B的函数，是}A\times \text{笛卡尔积的一类子集}\\ &\text{集合A到A的函数也称为A上的函数}\\ &\text{定义域的每个元素都存在陪域的唯一元素与之对应} \end{aligned}$$

# 记号

$$\begin{aligned} f:A\to B \end{aligned}$$

# 定义

$$\begin{aligned} &f\in P(A\times B) \ or\ f \subseteq A\times B ,\\ &\forall a\in A,\ \exists!b\in B,\ <a,b>\in f \end{aligned}$$

# 像

$$\text{b是a在函数f下的像}$$

# 原像

$$\text{a是b在函数f下的原像}$$

# 定义域 or 域

$$A$$

# 陪域

$$B$$

# 像集

# 描述

$$\text{A的子集S在f下的像集，是f的陪域B的子集}$$

# 记号

$$\begin{aligned} f(S) \end{aligned}$$

# 定义

$$\begin{aligned} f(S)&=\{f(x)\in B|x\in S\}\\ &=\{y\in B|\exists x\in S,y=f(x)\}\\ &\subseteq B \end{aligned}$$

# 值域

$$\begin{aligned} f(A)=\boldsymbol{ran}(f) \end{aligned}$$

# 逆像集

# 描述

$$\text{B的子集T在f下的逆像集，是f的域A的子集}$$

# 记号

$$\begin{aligned} f^{-1}(T) \end{aligned}$$

# 定义

$$\begin{aligned} f^{-1}(T)=\{x\in A|f(x)\in T\}\subseteq A \end{aligned}$$

# 恒等函数

# 描述

$$\begin{aligned}&\text{任意非空集A上的恒等关系}\Delta_A\text{是A的恒等函数}\\& \text{来自恒等关系} \end{aligned}$$

# 记号

$$\begin{aligned} \boldsymbol{id}_A=\Delta_A \end{aligned}$$

# 定义

$$\begin{aligned} f^{-1}(T)=\{x\in A|f(x)\in T\}\subseteq A \end{aligned}$$

# 空函数

# 描述

$$\begin{aligned}& \text{以空集为定义域的函数都是空函数，}\\& \text{当函数陪域为空集时定义域也只能是空集，}\\& \text{从而函数也是空函数，否则不满足函数定义}\\& \text{来自空关系} \end{aligned}$$

# 定义

$$\begin{aligned} &f:A\to B,\\ &A=\varnothing\to f\text{是空函数}\\ &B=\varnothing\to A=\varnothing\to f\text{是空函数} \end{aligned}$$

# 特征函数

# 描述

$$\begin{aligned} &\text{子集S的特征函数是}\\ &\text{全集U的任意子集S到}\boldsymbol{2}=\{\boldsymbol{0},\boldsymbol{1}\}\text{的函数} \end{aligned}$$

# 记号

$$\begin{aligned} \chi_s :U\to \boldsymbol{2} \end{aligned}$$

# 定义

$$\begin{aligned} \chi_s (x)=\left\{\begin{aligned} \boldsymbol{1}\\ \boldsymbol{0} \end{aligned}\right. &&&& \begin{aligned} x\in S\\ x\not\in S \end{aligned} \end{aligned}$$

# 自然映射

# 描述

$$\begin{aligned} &R\text{是非空集A上的等价关系，}\\ &\text{商集A/R的自然映射是A到A/R的函数},\\ &\text{将A的任意元素a映射到它所在的等价类}[a]_R \end{aligned}$$

# 记号

$$\begin{aligned} \rho :A\to A/R \end{aligned}$$

# 定义

$$\begin{aligned} \rho(a)=[a]_R \end{aligned}$$

# 函数集

(函数族)

# 描述

$$\text{所有从集合A到集合B的函数的集合}$$

# 记号

$$\begin{aligned} B^A \end{aligned}$$

# 偏函数

# 描述

$$\begin{aligned} &与全函数的区别在于：\\ &定义域的每个元素至多存在陪域的一个元素与之对应 \end{aligned}$$

# 记号

$$\begin{aligned} f:A\rightharpoonup B \end{aligned}$$

# 定义

$$\begin{aligned} &f\in P(A\times B) \ or\ f \subseteq A\times B ,\ \ \forall a\in A,\\& (\exists!b\in B,\ <a,b>\in f)\lor(!\exists b\in B,\ <a,b>\in f) \end{aligned}$$

# 备注

$$\text{本门课程里的函数默认是全函数}$$

# 单函数

(一对一函数)

# 描述

$$\begin{aligned}\text{陪域的每个元素至多存在定义域的一个元素与之对应} \end{aligned}$$

# 定义

$$\begin{aligned} &\forall x,y\in A,\ \ x\neq y\to f(x)\neq f(y) \end{aligned}$$

$$\begin{aligned} &\forall x,y\in A,\ \ f(x)=f(y)\to x=y \end{aligned}$$

$$\begin{aligned} f\text{存在左逆} \end{aligned}$$

# 满函数

(映上函数)

# 描述

$$\begin{aligned}\text{陪域的每个元素至少存在定义域的一个元素与之对应} \end{aligned}$$

# 定义

$$\begin{aligned} \boldsymbol{ran}(f)=B \end{aligned}$$

$$\begin{aligned} &\forall y\in B,\ \ \exists x\in A,\ \ f(x)=y \end{aligned}$$

$$\begin{aligned} f\text{存在右逆} \end{aligned}$$

# 双函数

(一一对应)

# 描述

$$\begin{aligned} \text{陪域的每个元素都有定义域唯一一个元素与之对应} \end{aligned}$$

# 定义

$$\begin{aligned} f\text{既是单函数又是满函数} \end{aligned}$$

$$\begin{aligned}& f:A\to B\text{是双函数}\\\Leftrightarrow& \exists g:B\to A\ ,\ g\circ f=\boldsymbol{id}_A\ ,\ f\circ g=\boldsymbol{id}_B\\\Leftrightarrow& \exists f^{-1},f^{-1}\circ f=\boldsymbol{id}_A\ ,\ f\circ f^{-1}=\boldsymbol{id}_B \end{aligned}$$

# 函数的复合

# 描述

$$\begin{aligned} &\text{函数}f:A\to B\text{和}g:B\to C\text{的复合}\\& \text{与关系的复合是一致的，是二元运算} \end{aligned}$$

# 记号

$$\begin{aligned} (g\circ f)(x)=g(f(x)) \end{aligned}$$

# 定义

$$\begin{aligned} (g\circ f)(x)=g(f(x)) \end{aligned}$$

$$\begin{aligned} g\circ f&=\{<x,y>|\exists z(<x,z>\in f\land<z,y>\in g)\}\\ &=\{<x,y>|\exists z(f(x)=z\land g(z)=y)\}\\ &=\{<x,y>|g(f(x))=y\} \end{aligned}$$

# 性质

$$\begin{aligned}& 关系复合不满足交换律 \end{aligned}$$

$$\begin{aligned}&\text{关系复合满足结合律} \end{aligned}$$

$$\begin{aligned}& f\text{和}g\text{是单函数}\to g\circ f\text{是单函数}\to f\text{是单函数} \end{aligned}$$

$$\begin{aligned}& f\text{和}g\text{是满函数}\to g\circ f\text{是满函数}\to g\text{是满函数} \end{aligned}$$

$$\begin{aligned}& f\text{和}g\text{是双函数}\to g\circ f\text{是双函数}\to f\text{是单函数且}g\text{是满函数} \end{aligned}$$

# 逆函数

# 描述

$$\begin{aligned}\text{双函数}f\text{作为关系的逆关系}f^{-1}\text{是}f\text{的逆函数} \end{aligned}$$

# 定义

$$\begin{aligned} f^{-1}& =\{<y,x>\in B\times A|<x,y>\in f\}\\& =\{<y,x>|f(x)=y\} \end{aligned}$$

$$\begin{aligned}& f^{-1}:B\to A\text{是双函数}f\text{的逆函数}\\\Leftrightarrow& f^{-1}\circ f=\boldsymbol{id}_A\ ,\ f\circ f^{-1}=\boldsymbol{id}_B \end{aligned}$$

# 左逆

# 描述

$$\begin{aligned} g:B\to A\text{是函数}f\text{的左逆，满足：} \end{aligned}$$

# 定义

$$\begin{aligned} &g\circ f=\boldsymbol{id}_A \end{aligned}$$

# 左逆

# 描述

$$\begin{aligned} g:B\to A\text{是函数}f\text{的右逆，满足：} \end{aligned}$$

# 定义

$$\begin{aligned} &f\circ g=\boldsymbol{id}_B \end{aligned}$$